Komplexné čísla

Ciele
  1. Precvičiť operácie s komplexnými číslami v algebrickom tvare.
  2. Vysvetliť a precvičiť prevod komlexného čísla z algebrického do goniometrického tvaru.
  3. Vysvetliť a precvičiť operácie s komplexnými číslami v goniometrickom tvare.
  4. Odvodiť a precvičiť riešenie binomickej rovnice.
  5. Precvičiť riešenie rovníc v množine komplexných čísel.
Úvod
    Je všeobecne známe, že druhá mocnina každého reálneho čísla je nezáporné reálne číslo. Túto základnú vlastnosť reálnych čísel nemajú komplexné čísla, definované pomocou tzv. imaginárnej jednotky, ktorú označíme symbolom \(i\) a pre ktorú platí \[i^2=-1.\]
Postup
  1. Precvičiť operácie s komplexnými číslami v algebrickom tvare.
    Mocniny imaginárnej jednotky definujeme rovnako, ako mocniny reálnych čísel. Potom dostávame \[i^3=i^2\cdot i=-i,\quad i^4=i^3\cdot i=-i^2=1,\quad i^5=i^4\cdot i=i,\dots.\] Ľahko zistíme, že pre každé prirodzené číslo \(n\) platí \[i^{n+4}=i^n.\]
    Komplexné číslo je v algebrickom tvare, ak je v tvare \(z=a+b\cdot i\), kde \(a,\, b\) sú reálne čísla. Číslo \(a\in \mathbb{R}\) nazývame reálna časť komplexného čísla a číslo \(b\in\mathbb{R}\) imaginárna časť komplexného čísla. Každému komplexnému číslu \(z=a+b{\it i}\) v~algebrickom tvare zodpovedá práve jedna usporiadaná dvojica \((a,b)\) reálnych čísel. Zvoľme v rovine bežnú pravouhlú súradnicovú sústavu a v nej bod \(B=[a;b].\) Jeho prvá súradnica sa rovná reálnej časti a druhá súradnica imaginárnej časti komplexného čísla \(z\). Toto priradenie je vzájomne jednoznačné, lebo ku každému bodu roviny existuje jediné komplexné číslo, ktoré je tzv. vzorom tohto bodu pri danom priradení.
    Bodom osi \(x\) je priradená usporiadaná dvojica \((x,0)\), ktorej zodpovedá číslo \(x+0{\it i}=x\), kde \(x\in\mathbb{R}\). To ale znamená, že body osi \(x\) reprezentujú reálne čísla. Podobnou úvahou dostaneme, že body osi \(y\) znázorňujú čísla typu \(0+y{\it i}=y{\it i}\), kde \(y\in\mathbb{R}\). To sú komplexné čísla s nulovou reálnou časťou -- hovoríme im rýdzo imaginárne čísla. Rovine, v ktorej sú uvedeným spôsobom znázorňované komplexné čísla, hovoríme Gaussova rovina, osi \(x\) hovoríme reálna os a osi \(y\) imaginárna os.
    Obr.: Zobrazenie v Gaussovej rovine
    Príklad: Vypočítajme \(i^{13},\ i^{22},\ i^{115},\ i^{-9},\ i^{-18}.\)
    Zobraziť riešenie
    Príklad: Nájdime reálne čísla \(x,y \def\a{&}\) tak, aby platilo \[(2-4i)(-2x+5iy)=8+34i.\]
    Zobraziť riešenie
    Príklad: Dané sú komplexné čísla \(z_1=3-4i,\ z_2=-2+3i\). Vypočítajme \(z_1+z_2,\ z_1.z_2,\) \(\frac{z_1}{z_2}\).
    Zobraziť riešenie
    Príklad: Dané sú komplexné čísla \(u=2-2i,\ v=-3+2i\). Vypočítajme \(u.\overline{v},\quad\frac{\overline{u}}{\overline{v}},\ \frac{u.\overline{v}}{v}\).
    Zobraziť riešenie
  2. Prevod komplexného čísla z algebrického do goniometrického tvaru.
    Príklad: Komplexné číslo \(z=-1+i\) preveďte do goniometrického tvaru.
    Zobraziť riešenie
    Úloha: Dané komplexné čísla zapíšme v goniometrickom tvare a zobrazme ich v Gaussovej rovine:
    \(\quad {\rm a)} 3{\it i};\quad {\rm b)} -1-{\it i}; \quad {\rm c)} -4;\quad {\rm d)} -1+\sqrt 3{\it i};\quad {\rm e)} 3;\quad {\rm f)} \sqrt{12}-2{\it i}\).
    Zobraziť riešenie
  3. Precvičiť operácie s komplexnými číslami v goniometrickom tvare.
    Príklad: Vypočítajme \({\rm a)}\ (-1+i)^7,\qquad (-1+\sqrt{3}i)^{37}\).
    Zobraziť riešenie
    Príklad: Dané sú komplexné čísla \(z_1=\sqrt{2}-i\sqrt{2},\ z_2=-3\sqrt{3}+3i\). Vypočítajme v goniometrickom tvare a výsledok preveďme späť do algebraického tvatu, ak sa jedná o známe hodnoty goniometrických funkcií. \[{\rm a)}\ z_3=z_1\cdot z_2, \quad {\rm b)}\ z_4=\frac{z_1}{z_2}, \quad {\rm c)}\ z_5=z_1^4, \quad {\rm d)}\ z_6=\frac{z_2^4}{z_1^2}.\]
    Zobraziť riešenie
  4. Odmocnina komplexného čísla.
    Príklad: Vypočítajme všetky hodnoty \(\sqrt[4]{-16}\).
    Zobraziť riešenie
    Príklad: Vypočítajme všetky hodnoty \(\sqrt[3]{-i}.\)
    Zobraziť riešenie
  5. Riešenie rovníc v množine komplexných čísel.
    Príklad: V množine komplexných čísel riešme rovnicu \[z^2-(2+3i)z-1+3i=0.\]
    Zobraziť riešenie
Zdroje
  1. M. Molnárová, H.Myšková: Úvod do lineárnej algebry.
  2. J. Buša, Š. Schrotter: Komplexné čísla
Doplňujúce úlohy
    Úloha: Nájdite reálne čísla \(x,y\) tak, aby platilo: \[\begin{array}{ll} a)\a(3-2i)x+(5-7i)y=1-3i\\ b)\a(1-i)x+(4+2i)y=1+3i\\ c)\a(1+3i)(2x+iy)=1+i\\ d)\a\frac{x+iy}{1-i}=3+2i\\ e)\a(2+ix)(y+2i)=16-11i. \end{array} \]
    Zobraziť výsledok
    Úloha: Vypočítajte v algebraickom tvare: \[ \begin{array}{llcll} a)\a(2+4i)+(1+2i),\a\phantom{duchduchduch}\a b)\a(-2-i)-(4-6i),\\ c)\a -3(-5+4i)+5(6-3i),\a\a d)\a (3+2i)(2+i),\\ e)\a (2+3i)(4+5i),\a\a f)\a(2-i)(2+i)+(3-i)(4+2i),\\ g)\a \frac{2+i}{3-i},\a\a h)\a \left(\frac{1+2i}{3-i}\right)^2,\\ i)\a \frac{1+i}{1-i}-\frac{1+i}{1+i},\a\a j)\a \frac{(1-i)^3}{(2+i)(1+2i)}. \end{array} \]
    Zobraziť výsledok
    Úloha: Zjednodušte a vypočítajte: \[ \begin{array}{ll} a)\a i^{16};i^{29};i^{133};i^{-6};i^{-11}\\ b)\a 3-8i+3i^2+3i^3-6i^4\\ c)\a -5+4i^2-9i^6+7i^5. \end{array} \]
    Zobraziť výsledok
    Úloha: Vypočítajte komplexné číslo \(z=\frac{u.\overline{u}}{v}\), ak \[ \begin{array}{llcll} a)\a u=\sqrt{3}+i,\ v=1-i,\a\phantom{duchduch}\a b)\a u=-\sqrt{2}+i,\ v=\sqrt{2}-i,\\ c)\a u=2-3i,\ v=-1+2i,\a\a d)\a u=5+3i,\ v=-4-i. \end{array} \]
    Zobraziť výsledok
    Úloha: Napíšte v goniometrickom tvare komplexné čísla: \[ \begin{array}{llcll} a)\a 3,\a \phantom{duchduchduch} \a b)\a-2+2i\sqrt{3}\\ c)\a 2i,\a\a d)\a 1+i,\\ e)\a\sqrt{3}-i,\a\a f)\a 1-i\sqrt{3},\\ g)\a 1-\sqrt{3},\a\a h)\a 3-3i,\\ i)\a -\sqrt{2}-i\sqrt{2},\a\a j)\a -3i. \end{array} \]
    Zobraziť výsledok
    Úloha: V goniometrickom tvare vypočítajte súčin \(u.v\) a podiel \(\frac{u}{v}\), ak
    \( a) u=\sqrt{2}(\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4}),\ v=\sqrt{8}(\cos\frac{5}{6}\pi +i\sin\frac{5}{6}\pi)\)
    \( b) u=-1+i,\ v=3(\cos\frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3}),\)
    \( c) u=2(\cos\frac{2}{3}\pi+i\sin\frac{2}{3}\pi), v=\sqrt{2}(\cos\frac{1}{6}\pi+i\sin\frac{1}{6}\pi),\)
    \( d) u=\sqrt{3}-i,\ v=2+2i.\)
    Zobraziť výsledok
    Úloha: Pomocou Moivreovej vety vypočítajte a zapíšte v algebraickom tvare: \[ \begin{array}{llcll} a)\a(-1-i)^6,\a\phantom{duchduch}\a b)\a (\sqrt{3}-i)^{8},\\ c)\a\left( \frac{1-i\sqrt{3}}{1+i}\right)^{24},\a\a d)\a \left(\frac{1+i}{-\sqrt{3}+i}\right)^3. \end{array} \]
    Zobraziť výsledok
    Úloha: Dané sú komplexné čísla \(z_1=-\sqrt{3}+i,\ z_2=\sqrt{2}-\sqrt{2}i\). Vypočítajte:\[ \begin{array}{llcllcllcll} a)\a z_1^3.z_2^5,\a\phantom{duchduch}\a b)\a z_1^5.z_2^4,\a\phantom{duchduch}\a c)\a \frac{z_1^6}{z_2^3},\a\phantom{duchduch}\a d)\a\frac{z_2^6}{z_1^2}. \end{array} \]
    Zobraziť výsledok
    Úloha: Riešte binomické rovnice: \[ \begin{array}{llcllcllcll} a)\a z^2=-1,\a\phantom{duch}\a b)\a z^3=i,\a\phantom{duch}\a c)\a z^4=-16,\a\phantom{duch}\a d)\a z^5=32,\\ e)\a z^6=-729,\a\phantom{duch}\a f)\a z^4=-8+8\sqrt{3}i,\a\phantom{duch}\a g)\a z^3=-8i,\a\phantom{duch}\a h)\a z^8=256. \end{array} \]
    Zobraziť výsledok
    Úloha: V množine komplexných čísel vyriešte rovnicu:
    \( a)\ z^2-4z+8=0;\\ b)\ z^2-(2+3i)z-1+3i=0;\\ c))\ x^4+8x^2+16=0;\\ d) \ (x^4+16=0;\\ e) \ z^3+z^2+z+1=0;\\ f) \ z^6-4z^3+8=0;\\ g) \ \left(\dfrac{z-1}{z+1}\right)^2=2i.\)
    Zobraziť výsledok
Doplňujúce zdroje
  1. M. Bučko, J. Buša, Š. Schrotter: Lineárna algebra
comments powered by Disqus