Matice a determinanty

Ciele
  1. Precvičiť určovanie lineárnej nezávislosti vektorov.
  2. Precvičiť operácie s maticami.
  3. Vysvetliť a precvičiť určovanie hodnosti matice.
  4. Precvičiť výpočet deterninantu štvorcovej matice.
  5. Precvičiť výpočet inverznej matice k regulárnej matici.
  6. Precvičiť riešenie maticových rovníc pomocou inverznej matice.
  7. Uviesť aplikácie determinantu a precvičiť ich využitie.
Úvod
    Matice sú prostriedkom na zjednodušenie zápisu niektorých úloh. Sústavy lineárnych rovníc môžeme zjednodušene zapísať v maticovom tvare. Od vzťahu medzi hodnosťou matice a rozšírenej matice sústavy závisí počet riešení sústavy. Determinant matice sústavy nám dáva odpoveď na otázku, či má sústava práve jedno riešenie. Taktiež pre riešenie sústavy lineárnych rovníc pomocou Cramerovho pravidla sú potrebné determimanty. Inverzné matice slúžia na riešenie maticových rovníc, v špeciálnom prípade sa jedná o riešenie sústavy lineárnych rovníc pomocou inverznej matice.
Postup
  1. Operácie s vektormi, lineárna kombinácia, zisťovanie lineárnej nezávislosti vektorov.
    Príklad: \(\def\a{&}\)\(\def\hod{{\rm h}}\) Utvorme lineárnu kombináciu vektorov \(\alpha \,\overline{x}_1+ \beta \, \overline{x}_2+ \gamma \, \overline{x}_3\), ak \[\overline{x}_1=(1,2,3),\ \overline{x}_2=(2,-1,1),\ \overline{x}_3=(1,7,9)\] pre \(\alpha =2,\ \beta =-3\) a \(\gamma =1\).
    Zobraziť riešenie
    Príklad: Zistime, či sú vektory \(\overline{x}_1\), \(\overline{x}_2\) a \(\overline{x}_3\) lineárne závislé alebo nezávislé, ak
    a) \( \overline{x}_1=(1,2,3),\ \overline{x}_2=(2,-1,1),\ \overline{x}_3=(1,7,9).\)
    b) \( \overline{x}_1=(1,2,3),\ \overline{x}_2=(2,-1,1),\ \overline{x}_3=(1,7,8).\)
    Zobraziť riešenie
  2. Operácie s maticami.
    Príklad: Pre matice \[ A=\left[\begin{array}{rrr} 2\a0\a-1\\3\a2\a0 \end{array}\right] ,\qquad B=\left[\begin{array}{rrr} 5\a 2\a 1\\1\a 0\a -1\\ 0\a 2\a 3\\ \end{array}\right] ,\qquad C=\left[\begin{array}{rrr} 0\a2\a1\\-1\a0\a4 \end{array}\right] \] vypočítajme \[ \begin{array}{lclcl} a)\ 2A-B,\a\phantom{duchduch}\a b)\ 3A+2C,\a\phantom{duchduch}\a c)\ A\cdot B,\\ d)\ B\cdot A,\a\a e)\ B^2,\a\a f)\ A^\top. \end{array} \]
    Zobraziť riešenie
  3. Určovanie hodnosti matice.
    Príklad: Určme hodnosť matice \[ A=\left[\begin{array}{rrrr} 2\a1\a3\a-1\\3\a-1\a2\a0\\1\a3\a4\a-2\\4\a-3\a1\a1 \end{array}\right]. \]
    Zobraziť riešenie
    Príklad: V závislosti na parametri \(\alpha\) určme hodnosť matice \[ A=\left[\begin{array}{rrrr} \alpha\a1\a0\a\alpha\\1\a\alpha\a\alpha\a0\\-1\a0\a0\a1\\0\a-1\a1\a0 \end{array}\right]. \]
    Zobraziť riešenie
    Príklad: Zistime, či sú vektory lineárne závislé alebo nezávislé \[ \begin{array}{lll} \overline{x}_1\a=\a(2,3,-1,4)\\ \overline{x}_2\a=\a(3,0,2,-2)\\ \end{array} \hspace{10mm}\begin{array}{lll} \overline{x}_3\a=\a(5,3,1,3)\\ \overline{x}_4\a=\a(4,6,-2,7). \end{array} \]
    Zobraziť riešenie
  4. Výpočet determinanu štvorcovej matice.\(\def\det{{\rm det}}\) Determinant štvorcovej matice rádu \(n\)je číslo, ktoré označujeme \(\det\,A\) alebo \(|A|\) a definujeme nasledovne:

    1. Ak \(n=1\), tak \(\ \det\,A=a_{11}\).
    2. Nech \(A_{ij}\) je štvorcová matica rádu \( n-1\), ktorá vznikne z matice \(A\) vynechaním jej \(i\)-teho riadku a \(j\)-tého stĺpca. Potom pre štvorcovú maticu A platí: \begin{equation} \det\,A=a_{11}\det\,A_{11}-a_{12}\det\,A_{12}+\dots+(-1)^{n+1} \det\,A_{1n}. \end{equation}
    Pre \(n=2\) máme \[ \det A=a_{11}\det A_{11}-a_{12}\det A_{12}=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21} \] a pre \(n=3\) dostávame \[ \det A=a_{11}\det A_{11}-a_{12}\det A_{12}+a_{13}\det A_{13}=\] \[= a_{11}(a_{22}a_{33} -a_{23}a_{32})-a_{12}(a_{21}a_{33}-a_{23}a_{31}) +a_{13}(a_{21}a_{32}-a_{22}a_{31})=\] \[ =a_{11}a_{22}a_{33}-a_{11}a_{23}a_{32}- a_{12}a_{21}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}-a_{13}a_{22}a_{31}. \]
    Determinanty druhého a tretieho stupňa môžeme počítať pomocou Sarusovho pravidla, ktoré bude vysvetlené v nasledujúcom príklade.
    Príklad: Vypočítajme determinanty matíc \[a)\ A=\left[\begin{array}{rr} 2\a3\\1\a4 \end{array}\right] ,\qquad b)\ B=\left[\begin{array}{rrr} 2\a3\a4\\1\a0\a2\\3\a1\a5 \end{array}\right], \] \[c)\ C=\left[\begin{array}{rrr} 1\a2\a3\\4\a5\a6\\7\a8\a9 \end{array}\right],\qquad d)\ D=\left[\begin{array}{rrrr} 0\a1\a1\a1\\1\a0\a1\a1\\1\a2\a3\a4\\4\a3\a1\a2 \end{array}\right]. \]
    Zobraziť riešenie
  5. Výpočet inverznej matice k regulárnej matici.
    Príklad: Vypočítajme inverznú maticu k matici \[ A=\left[\begin{array}{rr} 2\a3\\4\a5 \end{array}\right]. \]
    Zobraziť riešenie
    Príklad: Vypočítajme inverznú maticu k matici \[ A=\left[\begin{array}{rrr} 1\a-4\a-3\\1\a-5\a-3\\-1\a6\a4 \end{array}\right]. \]
    Zobraziť riešenie
    Príklad: Vypočítajme inverznú maticu k matici \[ A=\left[\begin{array}{rrrr} 2\a1\a1\a1\\3\a2\a1\a1\\4\a3\a2\a1\\5\a4\a3\a2 \end{array}\right]. \]
    Zobraziť riešenie
  6. Riešenie maticových rovníc pomocou inverznej matice.
    Príklad: Pomocou inverznej matice riešme maticovú rovnicu \[ \left[\begin{array}{rr} 2\a2\\3\a-1 \end{array}\right] X\left[\begin{array}{rr} 3\a5\\0\a1 \end{array}\right]= \left[\begin{array}{rr} 1\a1\\1\a1 \end{array}\right]\]
    Zobraziť riešenie
    Príklad: Pomocou inverznej matice riešme maticovú rovnicu \[ \left[\begin{array}{rrr} 1\a-4\a-3\\1\a-5\a-3\\-1\a6\a4 \end{array}\right]X- \left[\begin{array}{r} 1\\0\\1 \end{array}\right]= \left[\begin{array}{r} 0\\0\\0 \end{array}\right]. \]
    Zobraziť riešenie
  7. Aplikácie vo vektorovej algebre.
    Príklad: Nájdime vektor \(\overline{c}\), ktorý je kolmý k obidvom vektorom \(\overline{a},\)\(\overline{b}\), ak \(\overline{a}=(3,1,-2),\,\overline{b}=(6,2,-1)\).
    Zobraziť riešenie
    Príklad: Vypočítajme obsah rovnobežníka \(ABCD\), ak \(A=(2,4,1),\ B=(3,-1,1),\ C=(1,0,5).\)
    Zobraziť riešenie
    Príklad: Vypočítajme objem štvorstena \(ABCD\), ak \(A=(1,3,1),\, B=(2,1,4),\, C=(3,1,0),\) \( D=(4,-3,5)\).
    Zobraziť riešenie
    Príklad: Objem štvorstena ABCD je \(V =3\). Tri jeho vrcholy sú \(A=(1,2,3),\ B=(-2,4,1),\ C=(6,2,1)\). Vypočítajme súradnice štvrtého vrchola \(D\), ktorý leží na osi \(o_x\).
    Zobraziť riešenie
Zdroje
  1. M. Molnárová, H. Myšková: Úvod do lineárnej algebry
  2. M. Bučko, J. Buša, Š. Schrotter: Lineárna algebra
Doplňujúce úlohy
    Príklad: Dané sú matice \[ A=\left[\begin{array}{rrr} 2\a0\a-1\\3\a2\a0\\5\a-4\a2 \end{array}\right] ,\qquad B=\left[\begin{array}{rrr} 5\a 2\a 1\\1\a 0\a -1\\ 0\a 2\a 3\\ \end{array}\right]. \] Vypočítajte \(A\cdot B,\,B\cdot A.\)
    Zobraziť riešenie
    Príklad: Určte hodnosť matice \(A\), ak \[ A=\left[\begin{array}{rrr} 0\a2\a-4\\-1\a-4\a5\\3\a1\a7\\0\a5\a-10\\2\a3\a0 \end{array}\right]. \]
    Zobraziť riešenie
    Príklad: Určte hodnosť matice \(A\) v závislosti od parametra \(\alpha\), ak \[ A=\left[\begin{array}{rrrr} 1\a1\a-2\a3 \\0\a4\a2\a-3\\3\a\alpha \a-4\a12\\2\a-1\a0\a3 \end{array}\right]. \]
    Zobraziť riešenie
    Príklad: Pomocou inverznej matice riešme maticovú rovnicu \[ \left[\begin{array}{rr} 2\a2\\3\a-1 \end{array}\right] X\left[\begin{array}{rr} 3\a5\\0\a1 \end{array}\right]= \left[\begin{array}{rr} 1\a1\\1\a1 \end{array}\right]\]
    Zobraziť riešenie
    Príklad: Pomocou inverznej matice riešme maticovú rovnicu \[ \left[\begin{array}{rrr} 1\a-4\a-3\\1\a-5\a-3\\-1\a6\a4 \end{array}\right]X- \left[\begin{array}{r} 1\\0\\1 \end{array}\right]= \left[\begin{array}{r} 0\\0\\0 \end{array}\right]. \]
    Zobraziť riešenie
    Príklad: V množine \(\mathbb{C}\) riešte rovnicu \[\left|\begin{array}{rrr} x\a0\a0\\0\a x-2\a4\\0\a-2\a x+2 \end{array}\right|=0\]
    Zobraziť riešenie
    Úloha: Vypočítajte vektor \(\overline{x}=\alpha \,\overline{x}_1+ \beta \, \overline{x}_2+ \gamma \, \overline{x}_3\), ak \[\overline{x}_1=(3,-1,0,2),\ \overline{x}_2=(2,0,3,1),\ \overline{x}_3=(-2,2,0,3)\] pre nasledujúce hodnoty \(\alpha,\,\beta,\, \gamma\)
    a) \(\alpha =3,\ \beta =1,\ \gamma =-1,\)
    b) \(\alpha =1,\ \beta =1,\ \gamma =0,\)
    c) \(\alpha =2,\ \beta =0,\ \gamma =2,\)
    d) \(\alpha =0,\ \beta =1,\ \gamma =1\).
    Zobraziť výsledok
    Úloha: Zistite, či sú lineárne závislé alebo nezávislé vektory \[ \overline{x}_1=(-2,1,0),\quad \overline{x}_2=(1,2,0),\quad \overline{x}_3=(-1,3,0). \]
    Zobraziť výsledok
    Úloha: Zistite, či sú lineárne závislé alebo nezávislé vektory \[ \overline{x}_1=(1,2,0,3),\quad \overline{x}_2=(-1,-2,0,2),\quad \overline{x}_3=(2,4,0,11). \]
    Zobraziť výsledok
    Úloha: Zistite, či sú lineárne závislé alebo nezávislé vektory \[ \overline{x}_1=(-3,3,2),\quad \overline{x}_2=(2,1,0),\quad \overline{x}_3=(1,5,-2). \]
    Zobraziť výsledok
    Úloha: Zistite, či sú lineárne závislé alebo nezávislé vektory \[ \overline{x}_1=(-2,2,0,1),\quad \overline{x}_2=(-4,4,1,2),\quad \overline{x}_3=(2,-2,-1,1). \]
    Zobraziť výsledok
    Úloha: Vypočítajte determinanty matíc \[ A=\left[\begin{array}{rrr} 6\a3\a2\\1\a-3\a5\\2\a1\a9 \end{array}\right] ,\qquad B=\left[\begin{array}{rrr} 2\a-3\a1\\1\a2\a-1\\2\a1\a1 \end{array}\right]. \]
    Zobraziť výsledok
    Úloha: Vypočítajte determinanty matíc \[ C=\left[\begin{array}{rrrr} 2\a1\a-1\a2\\2\a3\a-3\a4\\6\a2\a1\a0\\2\a3\a0\a-5 \end{array}\right],\qquad D=\left[\begin{array}{rrrr} -1\a3\a2\a4\\2\a5\a1\a0\\2\a0\a-3\a1\\-2\a6\a8\a9 \end{array}\right]. \]
    Zobraziť výsledok
    Úloha: Určte hodnosť matice \[ A=\left[\begin{array}{rrrr} 3\a1\a2\a-2\\4\a2\a1\a5\\1\a3\a-2\a18\\2\a1\a1\a1 \end{array}\right]. \]
    Zobraziť výsledok
    Úloha: Určte hodnosť matice \[ A=\left[\begin{array}{rrrr} 2\a0\a2\a0\\0\a1\a0\a1\\2\a1\a0\a2\\0\a1\a-2\a2 \end{array}\right]. \]
    Zobraziť výsledok
    Úloha: Určte hodnosť matice \[ A=\left[\begin{array}{rrr} 27\a26\a25\\19\a18\a17\\12\a11\a10 \end{array}\right]. \]
    Zobraziť výsledok
    Úloha: Určte hodnosť matice \[ A=\left[\begin{array}{rrr} 1\a2\a3\\2\a-1\a1\\1\a7\a8 \end{array}\right]. \]
    Zobraziť výsledok
    Úloha: Určte hodnosť matice \[ A=\left[\begin{array}{rrrr} 1\a0\a3\a2\\-2\a1\a0\a-1\\-1\a1\a3\a1\\-1\a2\a9\a4 \end{array}\right]. \]
    Zobraziť výsledok
    Úloha: Určte hodnosť matice \[ A=\left[\begin{array}{rrrr} 1\a3\a5\a-1\\2\a-1\a-3\a4\\5\a1\a-1\a7\\7\a7\a9\a1 \end{array}\right]. \]
    Zobraziť výsledok
    Úloha: Určte hodnosť matice \[ A=\left[\begin{array}{rrr} 0\a2\a-4\\-1\a-4\a5\\3\a1\a7\\0\a5\a-10\\2\a3\a0 \end{array}\right]. \]
    Zobraziť výsledok
    Úloha: Určte hodnosť matice \[ A=\left[\begin{array}{rrrrr} 4\a3\a-5\a2\a3\\8\a6\a-7\a4\a2\\4\a3\a-8\a2\a7\\4\a3\a1\a2\a-5\\8\a6\a-1\a4\a-6 \end{array}\right]. \]
    Zobraziť výsledok
    Úloha: Určte hodnosť matice v závislosti od parametra \(\alpha\) \[ A=\left[\begin{array}{rrrr} 3\a1\a2\a-2\\\alpha \a2\a1\a5\\1\a3\a-2\a18\\2\a1\a1\a1 \end{array}\right]. \]
    Zobraziť výsledok
    Úloha: Určte hodnosť matice v závislosti od parametra \(\alpha\) \[ A=\left[\begin{array}{rrrr} 3\a1\a1\a4 \\\alpha \a4\a10\a1\\1\a7\a17\a3\\2\a2\a4\a3 \end{array}\right]. \]
    Zobraziť výsledok
    Úloha: Určte hodnosť matice v závislosti od parametra \(\alpha\) \[ A=\left[\begin{array}{rrrr} 1\a1\a1\a\alpha \\1\a1\a\alpha \a1\\1\a\alpha \a1\a1\\\alpha \a1\a1\a1 \end{array}\right]. \]
    Zobraziť výsledok
    Úloha: Určte hodnosť matice v závislosti od parametra \(\alpha\) \[ A=\left[\begin{array}{rrrr} 1\a2\a-1\a1 \\4\a-1\a3\a0\\5\a1\a\alpha -1\a1\\3\a\alpha \a4\a-1 \end{array}\right]. \]
    Zobraziť výsledok
    Úloha: Určte hodnosť matice v závislosti od parametra \(\alpha\) \[ A=\left[\begin{array}{rrrr} 2\a2\a2\a-\alpha \\2\a2\a-\alpha \a2\\2\a-\alpha \a2\a2\\-\alpha \a2\a2\a2 \end{array}\right]. \]
    Zobraziť výsledok
    Úloha: Určte hodnosť matice v závislosti od parametra \(\alpha\) \[ A=\left[\begin{array}{rrrr} \alpha \a1\a2\a3 \\1\a2\a4\a0\\\alpha \a4\a-8\a10\\1\a1\a3\a2 \end{array}\right]. \]
    Zobraziť výsledok
    Úloha: Vypočítajte inverznú maticu k matici \[ A=\left[\begin{array}{rrr} 1\a-2\a1\\3\a-5\a-2\\7\a-3\a1 \end{array}\right] \]
    Zobraziť výsledok
    Úloha: Vypočítajte inverznú maticu k matici \[ A=\left[\begin{array}{rrr} 2\a5\a7\\6\a3\a4\\5\a-2\a-3 \end{array}\right]. \]
    Zobraziť výsledok
    Úloha: Vypočítajte inverznú maticu k matici \[ A=\left[\begin{array}{rr} 3\a2\\6\a4 \end{array}\right]. \]
    Zobraziť výsledok
    Úloha: Vypočítajte inverznú maticu k matici \[ A=\left[\begin{array}{rr} 3\a2\\6\a5 \end{array}\right]. \]
    Zobraziť výsledok
    Úloha: Vypočítajte inverznú maticu k matici \[ A=\left[\begin{array}{rr} -3\a2\\-2\a4 \end{array}\right]. \]
    Zobraziť výsledok
    Úloha: Vypočítajte inverznú maticu k matici \[ A=\left[\begin{array}{rrr} 3\a2\a-1\\-1\a3\a2\\2\a-1\a4 \end{array}\right]. \]
    Zobraziť výsledok
    Úloha: Vypočítajte inverznú maticu k matici \[ A=\left[\begin{array}{rrr} 1\a1\a1\\6\a5\a4\\13\a10\a8 \end{array}\right]. \]
    Zobraziť výsledok
    Úloha: Vypočítajte inverznú maticu k matici \[ A=\left[\begin{array}{rrr} 9\a17\a8\\18\a34\a17\\10\a19\a8 \end{array}\right]. \]
    Zobraziť výsledok
    Úloha: Vypočítajte inverznú maticu k matici \[ A=\left[\begin{array}{rrr} 1\a1\a-1\\2\a1\a0\\1\a-1\a0 \end{array}\right]. \]
    Zobraziť výsledok
    Úloha: Vypočítajte inverznú maticu k matici \[ A=\left[\begin{array}{rrr} 2\a1\a4\\-5\a-2\a-1\\3\a1\a1 \end{array}\right]. \]
    Zobraziť výsledok
    Úloha: Vypočítajte inverznú maticu k matici \[ A=\left[\begin{array}{rrrr} 1\a1\a1\a1\\1\a1\a-1\a-1\\1\a-1\a1\a-1\\1\a-1\a-1\a1 \end{array}\right]. \]
    Zobraziť výsledok
    Úloha: Pomocou inverznej matice riešte maticovú rovnicu \[ \left[\begin{array}{rr} 3\a2\\-1\a0 \end{array}\right] X= \left[\begin{array}{rr} -1\a2\\1\a4 \end{array}\right]. \]
    Zobraziť výsledok
    Úloha: Pomocou inverznej matice riešte maticovú rovnicu \[ X \left[\begin{array}{rr} 2\a3\\1\a0 \end{array}\right]= \left[\begin{array}{rr} 2\a1\\1\a2 \end{array}\right]. \]
    Zobraziť výsledok
    Úloha: Pomocou inverznej matice riešte maticovú rovnicu \[ \left[\begin{array}{rr} 3\a2\\-1\a0 \end{array}\right] X\left[\begin{array}{rr} 2\a0\\2\a1 \end{array}\right]= \left[\begin{array}{rr} 1\a1\\1\a1 \end{array}\right]. \]
    Zobraziť výsledok
    Úloha: Pomocou inverznej matice riešte maticovú rovnicu \[ X\left[\begin{array}{rrr} 2\a1\a4\\-5\a-2\a-1\\3\a1\a1 \end{array}\right]= \left[\begin{array}{rrr} 10\a4\a6\\7\a3\a5 \end{array}\right]. \]
    Zobraziť výsledok
    Úloha: Pomocou inverznej matice riešte maticovú rovnicu \[ \left[\begin{array}{rrr} 1\a-2\a1\\3\a-5\a-2\\7\a-3\a1 \end{array}\right] X= \left[\begin{array}{r} 0\\-3\\16 \end{array}\right]. \]
    Zobraziť výsledok
    Úloha: Pomocou inverznej matice riešte maticovú rovnicu \[ X\left[\begin{array}{rrr} 1\a1\a-1\\2\a1\a0\\2\a-1\a0 \end{array}\right]= \left[\begin{array}{rrr} 1\a-1\a3\\4\a3\a4\\1\a-2\a5 \end{array}\right]. \]
    Zobraziť výsledok
    Úloha: Pomocou inverznej matice riešte maticovú rovnicu \[ \left[\begin{array}{rrrr} 2 \a - 2 \a 0 \a 0\\ 0 \a 2 \a- 2 \a 0\\ 0 \a 0 \a 2 \a- 2\\ 0 \a 0 \a 0 \a 2 \end{array}\right]X = \left[ \begin{array}{rrrr} 1 \a 0 \a 1 \a 0\\ 0 \a 1 \a 0 \a 1\\ 1 \a 0 \a 1 \a 0\\ 0 \a 1 \a 0 \a 1 \end{array} \right]. \]
    Zobraziť výsledok
    Úloha: Pomocou inverznej matice riešte maticovú rovnicu \[ \left[\begin{array}{rr} 3\a2\\-1\a0 \end{array}\right] X\left[\begin{array}{rr} 2\a0\\2\a1 \end{array}\right]- \left[\begin{array}{rr} 2\a0\\0\a2 \end{array}\right]= \left[\begin{array}{rr} -1\a1\\1\a-1 \end{array}\right].\]
    Zobraziť výsledok
    Úloha: Pomocou inverznej matice riešte maticovú rovnicu \[ \left[\begin{array}{rrr} 3\a2\a-1\\-1\a3\a2\\2\a-1\a4 \end{array}\right] X= \left[\begin{array}{r} 8\\3\\-4 \end{array}\right]. \]
    Zobraziť výsledok
    Úloha: Vypočítajte obsah rovnobežníka \(ABCD\), ak jeho tri za sebou idúce vrcholy sú
    a)\(\quad(A=(7,-5,6),\ B=(9,-4,8),\ C=(6,0,6)\),
    b)\(\quad(A=(-2,4,6),\ B=(2,5,4),\ C=(1,-5,3)\),
    c)\(\quad(A=(2,-1,7),\ B=(11,-5,8),\ C=(7,-4,-1)\),
    d)\(\quad (A=(-3,1,-2),\ B=(4,-4,2),\ C=(-2,1,0)\),
    e)\(\quad(A=(9,-4,-4),\ B=(11,-5,-4),\ C=(11,0,-9)\),
    f)\(\quad(A=(-1,9,0),\ B=(4,5,0),\ C=(0,0,0)\).
    Zobraziť výsledok
    Úloha: Vypočítajte objem štvorstena \(ABCD\), ak
    a)\(\quad A=(1,2,3),\ B=(-1,0,0),\ C=(0,-2,0),\ D=(0,0,-3)\),
    b)\(\quad A=(1,2,-1),\ B=(3,5,4),\ C=(-2,1,0),\ D=(4,2,3)\).
    Zobraziť výsledok
    Úloha: Objem štvorstena \(ABCD\) je \(V=5\). Tri jeho vrcholy sú \(A=(2,1,-1),\ B=(3,0,1),\ C=(2,-1,3)\). Vypočítajte súradnice vrchola \(D\), ktorý leží na osi \(o_y\).
    Zobraziť výsledok
    Úloha: Štvorsten \(ABCD\) má objem \(V=2\). Jeho tri vrcholy sú \(A=(2,1,3),\ B=(3,3,2),\ C=(1,2,4)\). Vypočítajte súradnice vrchola \(D\), ktorý leží na osi \(o_z\).
    Zobraziť výsledok
Doplňujúce zdroje
  1. M. Bučko, J. Buša, Š. Schrotter: Lineárna algebra
comments powered by Disqus