Sústavy lineárnych rovníc.

Ciele
  1. Precvičiť riešenie sústav lineárnych rovníc pomocou Cramerovho pravidla.
  2. Precvičiť riešenie sústav lineárnych rovníc pomocou inverznej matice.
  3. Precvičiť riešenie sústav lineárnych rovníc eliminačnou metódou.
  4. Precvičiť riešenie sústav lineárnych rovníc s parametrom.
Úvod
    S potrebou vyriešiť sústavu lineárnych rovníc sa stretávame v praxi veľmi často. Už na základnej škole sa žiaci učia riešiť sústavy 2 rovníc s dvomi neznámymi, pričom riešia len sústavy, ktoré majú práve 1 riešenie. Na strednej škole pribúdajú sústavy s tromi neznámymi, riešia sa už aj príklady, v ktorých sústava nemá riešenie alebo má nekonečne veľa riešení, pričom v druhom prípade sa ďalej neurčuje, aké sú tieto riešenia. Na tomto cvičení sa naučíme riešiť sústavy s ľubovoľným počtom rovníc aj premenných. Naučíme sa riešiť sústavy eliminačnou metódou a špeciálnych prípadoch aj pomocou Cramerovho pravidla a pomocou inverznej matice.
Postup
  1. Riešenie sústav lineárnych rovníc pomocou Cramerovho pravidla.
    Príklad: \(\def\a{&}\def\hod{\rm h}\) Pomocou Cramerovho pravidla riešme sústavu lineárnych algebraických rovníc nad \(\mathbb{R}\) \[ \begin{array}{rrrrrrl} 6x_1 \a \!+\! \a3x_2 \a \!-\! \a 2x_3 \a \!=\! \a 2\\ x_1 \a \!-\! \a 3x_2 \a \!+\! \a 2x_3 \a \!=\! \a 5\\ 2x_1 \a \!+\! \a x_2 \a \!+\! \a x_3 \a \!=\! \a 9. \end{array} \]
    Zobraziť riešenie
  2. Riešenie sústavy lineárnych rovníc pomocou inverznej matice.
    Príklad: Pomocou inverznej matice riešme nad \(\mathbb{R}\) sústavu lineárnych algebraických rovníc \[ \begin{array}{rrrrr} 2x_1 \a + \a 3x_2 \a \!=\! \a -4\\ 4x_1 \a + \a 5x_2 \a \!=\! \a -6. \end{array} \]
    Zobraziť riešenie
    Príklad: Pomocou inverznej matice riešme nad \(\mathbb{R}\) sústavu lineárnych algebraických rovníc \[ \begin{array}{rrrrrrl} x_1 \a - \a 4x_2 \a - \a 3x_3 \a \!=\! \a 1\\ x_1 \a - \a 5x_2 \a - \a 3x_3 \a \!=\! \a 0\\ -x_1 \a \!+\! \a 6x_2 \a \!+\! \a 4x_3 \a \!=\! \a 1. \end{array} \]
    Zobraziť riešenie
  3. Riešenie sústav rovníc eliminačnou metódou.
    Príklad: Pomocou Gaussovej eliminačnej metódy riešme sústavu lineárnych algebraických rovníc nad \(\mathbb{R}\) \[ \begin{array}{rrrrrrrrl} 2x_1 \a \!+\! \a 2x_2 \a \!-\! \a x_3 \a \!+\! \a x_4 \a\!=\! \a 4\\ 4x_1 \a \!+\! \a 3x_2 \a \!-\! \a x_3 \a \!+\! \a 2x_4 \a\!=\! \a 6\\ 8x_1 \a \!+\! \a 5x_2 \a \!-\! \a 3x_3 \a \!+\! \a 4x_4 \a\!=\! \a 12\\ 3x_1 \a \!+\! \a 3x_2 \a \!-\! \a 2x_3 \a \!+\! \a 2x_4 \a\!=\! \a 6. \end{array} \]
    Zobraziť riešenie
    Príklad: Pomocou Gaussovej eliminačnej metódy riešme sústavu lineár-nych algebraických rovníc nad \(\mathbb{R}\) \[ \begin{array}{rrrrrrrrl} 4x_1 \a \!-\! \a 3x_2 \a \!+\! \a 2x_3 \a \!-\! \a x_4 \a\!=\! \a 8\\ 3x_1 \a \!-\! \a 2x_2 \a \!+\! \a x_3 \a \!-\! \a 3x_4 \a\!=\! \a 7\\ 2x_1 \a \!-\! \a x_2 \a \a \a \!+\! \a 5x_4 \a\!=\! \a 6\\ 5x_1 \a \!-\! \a 3x_2 \a \!+\! \a x_3 \a \!-\! \a 8x_4 \a\!=\! \a 1. \end{array} \]
    Zobraziť riešenie
    Príklad: Pomocou Gaussovej eliminačnej metódy riešme sústavu lineárnych algebraických rovníc nad \(\mathbb{R}\) \[ \begin{array}{rrrrrrrrrrl} 2x_1 \a \!-\! \a x_2 \a \!+\! \a x_3 \a \!+\! \a 2x_4 \a \!+\! \a 3x_5 \a\!=\! \a 2\\ 6x_1 \a \!-\! \a 3x_2 \a \!+\! \a 2x_3 \a \!+\! \a 4x_4 \a \!+\! \a 5x_5 \a\!=\! \a 3\\ 6x_1 \a \!-\! \a 3x_2 \a \!+\! \a 4x_3 \a \!+\! \a 8x_4 \a \!+\! \a13x_5 \a\!=\! \a 9\\ 4x_1 \a \!-\! \a 2x_2 \a \!+\! \a x_3 \a \!+\! \a x_4 \a \!+\! \a 2x_5 \a\!=\! \a 1. \end{array} \]
    Zobraziť riešenie
    Príklad: Pomocou Gaussovej eliminačnej metódy riešme sústavu lineárnych algebraických rovníc nad \(\mathbb{R}\) \begin{array}{rrrrrrrrrrr} 4x_1 \a \!+\! \a 3x_2 \a \!-\! \a x_3 \a \!+\! \a x_4 \a \!+\! \a x_5 \a \! =\! \a 15\\ x_1 \a \!-\! \a x_2 \a \!+\! \a x_3 \a \!-\! \a x_4 \a \! +\! \a x_5 \a \!=\! \a 2\\ 3x_1 \a \!-\! \a 2x_2 \a \!+\! \a x_3 \a \!-\! \a x_4 \a \!-\! \a 2x_5 \a \!=\! \a 5\\ 2x_1 \a \a \a \!+\! \a 3x_3 \a \a \a \a \a \!=\! \a 0\\ \a \a x_2 \a \a \a \!+\! \a x_4 \a \a \a \!=\! \a 0 \end{array}
    Zobraziť riešenie
    Príklad: Pomocou Gaussovej eliminačnej metódy riešme homogénnu sústavu lineárnych algebraických rovníc nad \(\mathbb{R}\) \[ \begin{array}{rrrrrrrrl} \!-\!x_1 \a \!+\! \a x_2 \a \!-\! \a x_3 \a \!+\! \a x_4 \a\!=\! \a 0\\ \!-\!2x_1 \a \!+\! \a x_2 \a \!+\! \a x_3 \a \!-\! \a 3x_4 \a\!=\! \a 0\\ x_1 \a \!+\! \a 2x_2 \a \!-\! \a 3x_3 \a \!+\! \a x_4 \a\!=\! \a 0\\ 2x_1 \a \!+\! \a 3x_2 \a \!+\! \a 4x_3 \a \!-\! \a x_4 \a\!=\! \a 0. \end{array} \]
    Zobraziť riešenie
    Príklad: Pomocou Gaussovej eliminačnej metódy riešme homogénnu sústavu lineárnych algebraických rovníc nad \(\mathbb{R}\) \[ \begin{array}{rrrrrrrrrrl} 3x_1 \a \!-\! \a x_2 \a \!-\! \a 2x_3 \a \!+\! \a x_4 \a \!+\! \a 8x_5 \a\!=\! \a 0\\ 9x_1 \a \!-\! \a 3x_2 \a \!+\! \a 4x_3 \a \!+\! \a 8x_4 \a \!+\! \a 9x_5 \a\!=\! \a 0\\ 3x_1 \a \!-\! \a x_2 \a \!+\! \a 2x_3 \a \!+\! \a 3x_4 \a \!+\! \a 2x_5 \a\!=\! \a 0\\ 3x_1 \a \!-\! \a x_2 \a \!+\! \a 4x_3 \a \!+\! \a 4x_4 \a \!-\! \a x_5 \a\!=\! \a 0. \end{array} \]
    Zobraziť riešenie
  4. Riešenie sústav lineárnych rovníc s parametrom.
    Príklad: Pomocou Cramerovho pravidla riešme nad \(\mathbb{R}\) sústavu lineárnych algebraických rovníc s parametrom \[ \begin{array}{rrrrrrl} x_1 \a \!+\! \a x_2 \a \!+\! \a ax_3 \a \!=\! \a 1\\ x_1 \a \!+\! \a ax_2 \a \!+\! \a x_3 \a \!=\! \a 1\\ ax_1 \a \!+\! \a x_2 \a \!+\! \a x_3 \a \!=\! \a 1. \end{array} \]
    Zobraziť riešenie
    Príklad: Pomocou Gaussovej eliminačnej metódy riešme nad \(\mathbb{R}\) sústavu lineárnych algebraických rovníc s parametrom \[ \begin{array}{rrrrrrrrl} 12x_1 \a \!-\! \a 6x_2 \a \!+\! \a 9x_3 \a \!+\! \a21x_4 \a \!=\! \a 3\!+\!a\\ 11x_1 \a \!-\! \a 5x_2 \a \!+\! \a10x_3 \a \!+\! \a24x_4 \a \!=\! \a 1\!+\!a\\ 7x_1 \a \!-\! \a 3x_2 \a \!+\! \a 7x_3 \a \!+\! \a17x_4 \a \!=\! \a a\\ 8x_1 \a \!-\! \a 6x_2 \a \!-\! \a x_3 \a \!-\! \a 5x_4 \a \!=\! \a 9. \end{array} \]
    Zobraziť riešenie
Zdroje
  1. M. Molnárová, H.Myšková, Úvod do lineárnej algebry
  2. M. Bučko, J. Buša, Š. Schrotter: Lineárna algebra
Doplňujúce úlohy
    Úloha: Pomocou Cramerovho pravidla riešte sústavu rovníc \[ \begin{array}{rrrrrrr} x_1 \a \!+\! \a 3x_2 \a \!+\! \a 2x_3 \a \!=\! \a 4\\ 2x_1 \a \!+\! \a 6x_2 \a \!+\! \a x_3 \a \!=\! \a 2\\ 4x_1 \a \!+\! \a 8x_2 \a \!-\! \a x_3 \a \!=\! \a 2 \end{array} \]
    Zobraziť výsledok
    Úloha: Pomocou Cramerovho pravidla riešte sústavu rovníc \[ \begin{array}{rrrrrrr} x_1 \a \!-\! \a 2x_2 \a \!+\! \a 3x_3 \a \!=\! \a 9\\ \!-\!x_1 \a \!+\! \a 3x_2 \a \!-\! \a x_3 \a \!=\! \a -6\\ 2x_1 \a \!-\! \a 5x_2 \a \!+\! \a 5x_3 \a \!=\! \a 17 \end{array} \]
    Zobraziť výsledok
    Úloha: Pomocou Cramerovho pravidla riešte sústavu rovníc \[ \begin{array}{rrrrrrr} 3x_1 \a \!+\! \a 3x_2 \a \!+\! \a 5x_3 \a \!=\! \a 1\\ 3x_1 \a \!+\! \a 5x_2 \a \!+\! \a 9x_3 \a \!=\! \a 0\\ 5x_1 \a \!+\! \a 9x_2 \a \!+\! \a 17x_3 \a \!=\! \a 0 \end{array} \]
    Zobraziť výsledok
    Úloha: Pomocou Cramerovho pravidla riešte sústavu rovníc \[ \begin{array}{rrrrrrr} 2x_1 \a \!+\! \a 3x_2 \a \!+\! \a 3x_3 \a \!=\! \a 3\\ 6x_1 \a \!+\! \a 6x_2 \a \!+\! \a12x_3 \a \!=\! \a 13\\ 12x_1 \a \!+\! \a 9x_2 \a \!-\! \a x_3 \a \!=\! \a 2 \end{array} \]
    Zobraziť výsledok
    Úloha: Pomocou inverznej matice riešte sústavu rovníc \[ \begin{array}{rrrrrrr} 2x_1 \a \!+\! \a 3x_2 \a \!+\! \a x_3 \a \!=\! \a \!-\!1\\ 3x_1 \a \!+\! \a 3x_2 \a \!+\! \a x_3 \a \!=\! \a 1\\ 2x_1 \a \!+\! \a 4x_2 \a \!+\! \a x_3 \a \!=\! \a \!-\!2 \end{array} \]
    Zobraziť výsledok
    Úloha: Pomocou inverznej matice riešte sústavu rovníc \[ \begin{array}{rrrrrrr} 2x_1 \a \!+\! \a 3x_2 \a \!+\! \a x_3 \a \!=\! \a 4\\ 3x_1 \a \!+\! \a 3x_2 \a \!+\! \a x_3 \a \!=\! \a 8\\ 2x_1 \a \!+\! \a 4x_2 \a \!+\! \a x_3 \a \!=\! \a 5 \end{array} \]
    Zobraziť výsledok
    Úloha: Eliminačnou metódou riešte sústavu rovníc \[ \begin{array}{rrrrrrrrr} 2x_1 \a \!+\! \a 5x_2 \a \!+\! \a 4x_3 \a \!+\! \a x_4 \a\!=\! \a 20\\ x_1 \a \!+\! \a 3x_2 \a \!+\! \a 2x_3 \a \!+\! \a x_4 \a\!=\! \a 11\\ 2x_1 \a \!+\! \a10x_2 \a \!+\! \a 9x_3 \a \!+\! \a 7x_4 \a\!=\! \a 40\\ 3x_1 \a \!+\! \a 8x_2 \a \!+\! \a 9x_3 \a \!+\! \a 2x_4 \a\!=\! \a 37 \end{array} \]
    Zobraziť výsledok
    Úloha: Eliminačnou metódou riešte sústavu rovníc \[ \begin{array}{rrrrrrrrr} 2x_1 \a \!+\! \a 3x_2 \a \!+\! \a11x_3 \a \!+\! \a 5x_4 \a\!=\! \a 2\\ x_1 \a \!+\! \a x_2 \a \!+\! \a 5x_3 \a \!+\! \a 2x_4 \a\!=\! \a 1\\ 2x_1 \a \!+\! \a x_2 \a \!+\! \a 3x_3 \a \!+\! \a 2x_4 \a\!=\! \a-3\\ x_1 \a \!+\! \a x_2 \a \!+\! \a 3x_3 \a \!+\! \a 4x_4 \a\!=\! \a-3 \end{array} \]
    Zobraziť výsledok
    Úloha: Eliminačnou metódou riešte sústavu rovníc \[ \begin{array}{rrrrrrrrr} 7x_1 \a \!+\! \a 9x_2 \a \!+\! \a 4x_3 \a \!+\! \a 2x_4 \a\!=\! \a 2\\ 2x_1 \a \!-\! \a 2x_2 \a \!+\! \a x_3 \a \!+\! \a x_4 \a\!=\! \a 6\\ 5x_1 \a \!+\! \a 6x_2 \a \!+\! \a 3x_3 \a \!+\! \a 2x_4 \a\!=\! \a 3\\ 2x_1 \a \!+\! \a 3x_2 \a \!+\! \a x_3 \a \!+\! \a x_4 \a\!=\! \a 0 \end{array} \]
    Zobraziť výsledok
    Úloha: Eliminačnou metódou riešte sústavu rovníc \[ \begin{array}{rrrrrrrrr} 3x_1 \a \!+\! \a 4x_2 \a \!+\! \a x_3 \a \!+\! \a 2x_4 \a\!=\! \a -3\\ 3x_1 \a \!+\! \a 5x_2 \a \!+\! \a 3x_3 \a \!+\! \a 5x_4 \a\!=\! \a -6\\ 6x_1 \a \!+\! \a 8x_2 \a \!+\! \a x_3 \a \!+\! \a 5x_4 \a\!=\! \a -8\\ 3x_1 \a \!+\! \a 5x_2 \a \!+\! \a 3x_3 \a \!+\! \a 7x_4 \a\!=\! \a -8 \end{array} \]
    Zobraziť výsledok
    Úloha: Eliminačnou metódou riešte sústavu rovníc \[ \begin{array}{rrrrrrrrr} x_1 \a \!+\! \a 2x_2 \a \!-\! \a x_3 \a \!-\! \a 2x_4 \a\!=\! \a -2\\ 2x_1 \a \!+\! \a x_2 \a \!+\! \a x_3 \a \!+\! \a x_4 \a\!=\! \a 8\\ x_1 \a \!-\! \a x_2 \a \!-\! \a x_3 \a \!+\! \a x_4 \a\!=\! \a 1\\ x_1 \a \!+\! \a 2x_2 \a \!+\! \a 2x_3 \a \!-\! \a x_4 \a\!=\! \a 4 \end{array} \]
    Zobraziť výsledok
    Úloha: Eliminačnou metódou riešte sústavu rovníc \[ \begin{array}{rrrrrrrrr} 5x_1 \a \!+\! \a 3x_2 \a \!+\! \a 3x_3 \a \!+\! \a x_4 \a\!=\! \a 11\\ x_1 \a \!-\! \a x_2 \a \!+\! \a x_3 \a \a \a\!=\! \a -2\\ 3x_1 \a \!+\! \a 3x_2 \a \!+\! \a 2x_3 \a \!+\! \a x_4 \a\!=\! \a 10\\ 4x_1 \a \!+\! \a x_2 \a \!+\! \a 3x_3 \a \!+\! \a x_4 \a\!=\! \a 8\\ x_1 \a \!-\! \a 3x_2 \a \!+\! \a 2x_3 \a \a \a\!=\! \a -7 \end{array} \]
    Zobraziť výsledok
    Úloha: Eliminačnou metódou riešte sústavu rovníc \[ \begin{array}{rrrrrrrrrrr} x_1 \a \!+\! \a x_2 \a \!+\! \a x_3 \a \!+\! \a x_4 \a \a \a\!=\! \a 1\\ 2x_1 \a \!+\! \a 2x_2 \a \!+\! \a 2x_3 \a \a \a \a \a\!=\! \a 1\\ x_1 \a \!+\! \a x_2 \a \!+\! \a 5x_3 \a \!-\! \a x_4 \a \!+\! \a 6x_5 \a\!=\! \a 1\\ x_1 \a \!+\! \a x_2 \a \!-\! \a 3x_3 \a \!+\! \a x_4 \a \!-\! \a 6x_5 \a\!=\! \a -1 \end{array} \]
    Zobraziť výsledok
    Úloha: Eliminačnou metódou riešte sústavu rovníc \[ \begin{array}{rrrrrrrrrrr} 4x_1 \a \!+\! \a 3x_2 \a \!-\! \a x_3 \a \!+\! \a x_4 \a \!+\! \a x_5 \a\!=\! \a 15\\ x_1 \a \!-\! \a x_2 \a \!+\! \a x_3 \a \!-\! \a x_4 \a \!+\! \a x_5 \a\!=\! \a 2\\ 3x_1 \a \!-\! \a 2x_2 \a \!+\! \a x_3 \a \!-\! \a x_4 \a \!-\! \a 2x_5 \a\!=\! \a 5\\ 2x_1 \a \a \a \!+\! \a 3x_3 \a \a \a \a \a\!=\! \a 0\\ \a \a x_2 \a \a \a \!+\! \a x_4 \a \a \a\!=\! \a 0 \end{array} \]
    Zobraziť výsledok
    Úloha: Eliminačnou metódou riešte sústavu rovníc \[ \begin{array}{rrrrrrrrr} x_1 \a \!+\! \a 2x_2 \a \!-\! \a 3x_3 \a \!+\! \a x_4 \a\!=\! \a -2\\ 3x_1 \a \!-\! \a 5x_2 \a \!+\! \a 2x_3 \a \!+\! \a x_4 \a\!=\! \a 3\\ 4x_1 \a \!+\! \a 3x_2 \a \!-\! \a 7x_3 \a \!+\! \a 2x_4 \a\!=\! \a -5\\ \!-\!x_1 \a \!+\! \a 2x_2 \a \!-\! \a x_3 \a \!+\! \a 3x_4 \a\!=\! \a 2\\ 3x_1 \a \!+\! \a x_2 \a \!-\! \a 4x_3 \a \!+\! \a 2x_4 \a\!=\! \a -2 \end{array} \]
    Zobraziť výsledok
    Úloha: Eliminačnou metódou riešte sústavu rovníc \[ \begin{array}{rrrrrrrrr} \!-\!2x_1 \a \!+\! \a 2x_2 \a \a \a \a \a\!=\! \a -6\\ x_1 \a \!+\! \a 8x_2 \a \!+\! \a 2x_3 \a \!+\! \a x_4 \a\!=\! \a -3\\ 3x_1 \a \!+\! \a10x_2 \a \!+\! \a 2x_3 \a \!-\! \a x_4 \a\!=\! \a -2\\ 2x_1 \a \a \a \a \a \!-\! \a x_4 \a\!=\! \a 1\\ 4x_1 \a \!+\! \a 3x_2 \a \!+\! \a x_3 \a \!+\! \a x_4 \a\!=\! \a 5 \end{array} \]
    Zobraziť výsledok
    Úloha: Eliminačnou metódou riešte homogénnu sústavu rovníc \[ \begin{array}{rrrrrrr} x_1 \a \!+\! \a 3x_2 \a \!+\! \a 2x_3 \a \!=\! \a 0\\ 2x_1 \a \!-\! \a x_2 \a \!+\! \a 3x_3 \a \!=\! \a 0\\ 3x_1 \a \!-\! \a 5x_2 \a \!+\! \a 4x_3 \a \!=\! \a 0\\ x_1 \a \!+\! \a17x_2 \a \!+\! \a 4x_3 \a \!=\! \a 0 \end{array} \]
    Zobraziť výsledok
    Úloha: Eliminačnou metódou riešte homogénnu sústavu rovníc \[ \begin{array}{rrrrrrrrr} x_1 \a \!-\! \a 3x_2 \a \!-\! \a26x_3 \a \!+\! \a22x_4 \a\!=\! \a 0\\ x_1 \a \a \a \!-\! \a 8x_3 \a \!+\! \a 7x_4 \a\!=\! \a 0\\ x_1 \a \!+\! \a x_2 \a \!-\! \a 2x_3 \a \!+\! \a 2x_4 \a\!=\! \a 0\\ 4x_1 \a \!+\! \a 5x_2 \a \!-\! \a 2x_3 \a \!+\! \a 3x_4 \a\!=\! \a 0 \end{array} \]
    Zobraziť výsledok
    Úloha: Eliminačnou metódou riešte homogénnu sústavu rovníc \[ \begin{array}{rrrrrrrrrrrrr} \!-\!x_1 \a \!+\! \a x_2 \a \a \a \!+\! \a x_4 \a \a \a \a \a\!=\! \a 0\\ \a \a \a \a x_3 \a \a \a \!-\! \a x_5 \a \!+\! \a x_6 \a\!=\! \a 0\\ \a \!-\! \a x_2 \a \!+\! \a x_3 \a \!-\! \a x_4 \a \a \a \!-\! \a x_6 \a\!=\! \a 0\\ \a \a x_2 \a \a \a \!+\! \a x_4 \a \!-\! \a x_5 \a \a \a\!=\! \a 0\\ \!-\!x_1 \a \a \a \!+\! \a x_3 \a \a \a \a \a \!+\! \a x_6 \a\!=\! \a0 \end{array} \]
    Zobraziť výsledok
    Úloha: Eliminačnou metódou riešte homogénnu sústavu rovníc \[ \begin{array}{rrrrrrrrrrr} 3x_1 \a \a \a \!-\! \a x_3 \a \!-\! \a 2x_4 \a \!-\! \a 4x_5 \a\!=\! \a 0\\ 4x_1 \a \!+\! \a x_2 \a \!-\! \a 2x_3 \a \!-\! \a x_4 \a \!-\! \a 5x_5 \a\!=\! \a 0\\ 6x_1 \a \!-\! \a 3x_2 \a \a \a \!-\! \a 9x_4 \a \!-\! \a 3x_5 \a\!=\! \a 0\\ 10x_1 \a \!+\! \a x_2 \a \!-\! \a 4x_3 \a \!-\! \a 5x_4 \a \!-\! \a13x_5 \a\!=\! \a 0\\ x_1 \a \!+\! \a 4x_2 \a \!-\! \a 3x_3 \a \!+\! \a 6x_4 \a \a \a\!=\! \a 0 \end{array} \]
    Zobraziť výsledok
    Úloha: Eliminačnou metódou riešte homogénnu sústavu rovníc \[ \begin{array}{rrrrrrrrrrr} x_1 \a \!-\! \a x_2 \a \!+\! \a 2x_3 \a \!+\! \a 2x_4 \a \!+\! \a 6x_5 \a\!=\! \a 0\\ 3x_1 \a \!-\! \a 2x_2 \a \!+\! \a 4x_3 \a \!+\! \a 4x_4 \a \!+\! \a12x_5 \a\!=\! \a 0\\ \a \a x_2 \a \!-\! \a x_3 \a \!-\! \a x_4 \a \!-\! \a 3x_5 \a\!=\! \a 0\\ 2x_1 \a \!-\! \a 2x_2 \a \!+\! \a 4x_3 \a \!+\! \a 5x_4 \a \!+\! \a15x_5 \a\!=\! \a 0\\ 2x_1 \a \!-\! \a 2x_2 \a \!+\! \a 4x_3 \a \!+\! \a 4x_4 \a \!+\! \a13x_5 \a\!=\! \a 0 \end{array} \]
    Zobraziť výsledok
    Úloha: Riešte sústavu lineárnych rovníc s parametrom \[ \begin{array}{rrrrrrr} x_1 \a \!+\! \a x_2 \a \!+\! \a x_3 \a \!=\! \a 2\\ 2x_1 \a \!+\! \a 3x_2 \a \!+\! \a 4x_3 \a \!=\! \a 3\\ 3x_1 \a \!+\! \a 2x_2 \a \!+\! \a ax_3 \a \!=\! \a 6 \end{array} \]
    Zobraziť výsledok
    Úloha: Riešte sústavu lineárnych rovníc s parametrom \[ \begin{array}{rrrrrrrrr} 2x_1 \a \!-\! \a x_2 \a \!+\! \a x_3 \a \!+\! \a x_4 \a\!=\! \a 1\\ x_1 \a \!+\! \a 2x_2 \a \!-\! \a x_3 \a \!+\! \a 4x_4 \a\!=\! \a 2\\ x_1 \a \!+\! \a 7x_2 \a \!-\! \a 4x_3 \a \!+\! \a11x_4 \a\!=\! \a a \end{array} \]
    Zobraziť výsledok
    Úloha: Riešte sústavu lineárnych rovníc s parametrom \[ \begin{array}{rrrrrrr} ax_1 \a \!+\! \a x_2 \a \!+\! \a x_3 \a \!=\! \a 1\\ x_1 \a \!+\! \a ax_2 \a \!+\! \a x_3 \a \!=\! \a a\\ x_1 \a \!+\! \a x_2 \a \!+\! \a ax_3 \a \!=\! \a a^2 \end{array} \]
    Zobraziť výsledok
    Úloha: Riešte sústavu lineárnych rovníc s parametrom \[ \begin{array}{rrrrrrrrr} x_1 \a \!+\! \a x_2 \a \!+\! \a x_3 \a \!+\! \a x_4 \a\!=\! \a 4\\ 2x_1 \a \!-\! \a 3x_2 \a \!+\! \a x_3 \a \!-\! \a x_4 \a\!=\! \a -1\\ 3x_1 \a \!+\! \a 4x_2 \a \!-\! \a 2x_3 \a \!+\! \a 6x_4 \a\!=\! \a 11\\ 5x_1 \a \a \a \!+\! \a 4x_3 \a \!+\! \a 2x_4 \a\!=\! \a a \end{array} \]
    Zobraziť výsledok
    Úloha: Riešte sústavu lineárnych rovníc s parametrom \[ \begin{array}{rrrrrrrrr} x_1 \a \!+\! \a x_2 \a \!+\! \a x_3 \a \!+\! \a x_4 \a\!=\! \a 4\\ 2x_1 \a \!-\! \a 3x_2 \a \!+\! \a x_3 \a \a \a\!=\! \a 0\\ 3x_1 \a \!+\! \a 4x_2 \a \!-\! \a 2x_3 \a \!+\! \a 6x_4 \a\!=\! \a 11\\ 5x_1 \a \a \a \!+\! \a 4x_3 \a \!+\! \a 3x_4 \a\!=\! \a a \end{array} \]
    Zobraziť výsledok
    Úloha: Riešte sústavu lineárnych rovníc s parametrom \[ \begin{array}{rrrrrrrrr} x_1 \a \!-\! \a x_2 \a \!-\! \a x_3 \a \!-\! \a 3x_4 \a\!=\! \a 2\\ 4x_1 \a \!-\! \a 2x_2 \a \!+\! \a 3x_3 \a \!+\! \a 7x_4 \a\!=\! \a 1\\ x_1 \a \!-\! \a 3x_2 \a \!-\! \a 8x_3 \a \!-\! \a22x_4 \a\!=\! \a 9\\ 7x_1 \a \!-\! \a 3x_2 \a \!+\! \a 7x_3 \a \!+\! \a17x_4 \a\!=\! \a a \end{array} \]
    Zobraziť výsledok
    Úloha: Riešte sústavu lineárnych rovníc s parametrom \[ \begin{array}{rrrrrrrrr} x_1 \a \!-\! \a x_2 \a \!+\! \a x_3 \a \!+\! \a x_4 \a\!=\! \a 0\\ 2x_1 \a \!+\! \a x_2 \a \!-\! \a x_3 \a \!-\! \a x_4 \a\!=\! \a 1\\ 3x_1 \a \!+\! \a 3x_2 \a \!-\! \a 3x_3 \a \!-\! \a 3x_4 \a\!=\! \a a\\ 4x_1 \a \!+\! \a 5x_2 \a \!-\! \a 5x_3 \a \!-\! \a 5x_4 \a\!=\! \a 3 \end{array} \]
    Zobraziť výsledok
    Úloha: \[ \begin{array}{rrrrrrr} (2\!-\!a)x_1 \a \!+\! \a x_2 \a \!+\! \a x_3 \a \!=\! \a 0\\ x_1 \a \!+\! \a (a\!-\!2)x_2 \a \!+\! \a x_3 \a \!=\! \a 0\\ x_1 \a \!+\! \a x_2 \a \!+\! \a (a\!-\!2)x_3 \a \!=\! \a 0 \end{array} \]
    Zobraziť výsledok
    Úloha: Riešte sústavu lineárnych rovníc s parametrom \[ \begin{array}{rrrrrrr} x_1 \a \!+\! \a 2x_2 \a \!+\! \a 3x_3 \a \!=\! \a 4\\ 2x_1 \a \!+\! \a 5x_2 \a \!+\! \a 8x_3 \a \!=\! \a 6\\ \!-\!7x_1 \a \a \a \!+\! \a 7x_3 \a \!=\! \a 8\!-\!a \end{array} \]
    Zobraziť výsledok
    Úloha: Riešte sústavu lineárnych rovníc s parametrom \[ \begin{array}{rrrrrrr} ax_1 \a \!+\! \a x_2 \a \!+\! \a x_3 \a \!=\! \a 1\\ x_1 \a \!+\! \a ax_2 \a \!+\! \a x_3 \a \!=\! \a 1\\ x_1 \a \!+\! \a x_2 \a \!+\! \a ax_3 \a \!=\! \a a^2 \end{array} \]
    Zobraziť výsledok
    Úloha: Riešte sústavu lineárnych rovníc s parametrom \[ \begin{array}{rrrrrrr} 4x_1 \a \!+\! \a 4x_2 \a \!+\! \a 4x_3 \a \!=\! \a 1\!+\!a\\ 8x_1 \a \!+\! \a 6x_2 \a \!+\! \a 4x_3 \a \!=\! \a 1\\ \!-\!3x_1 \a \!-\! \a 2x_2 \a \!-\! \a x_3 \a \!=\! \a 1 \end{array} \]
    Zobraziť výsledok
    Úloha: Riešte sústavu lineárnych rovníc s parametrom \[ \begin{array}{rrrrrrr} ax_1 \a \!+\! \a x_2 \a \!+\! \a x_3 \a \!=\! \a 0\\ x_1 \a \!+\! \a ax_2 \a \!+\! \a x_3 \a \!=\! \a 0\\ x_1 \a \!+\! \a x_2 \a \!+\! \a ax_3 \a \!=\! \a 0 \end{array} \]
    Zobraziť výsledok
    Úloha: Riešte sústavu lineárnych rovníc s parametrom \[ \begin{array}{rrrrrrr} ax_1 \a \!-\! \a 2x_2 \a \!+\! \a x_3 \a \!=\! \a 0\\ 3x_1 \a \!+\! \a2ax_2 \a \!-\! \a x_3 \a \!=\! \a 0\\ \!-\!a^2x_1 \a \!-\! \a x_2 \a \!+\! \a (1\!-\!a)x_3 \a \!=\! \a 0 \end{array} \]
    Zobraziť výsledok
    Úloha: Riešte sústavu lineárnych rovníc s parametrom \[ \begin{array}{rrrrrrr} x_1 \a \!+\! \a x_2 \a \!+\! \a x_3 \a \!=\! \a 1\\ x_1 \a \!+\! \a x_2 \a \!+\! \a ax_3 \a \!=\! \a a\\ x_1 \a \!+\! \a ax_2 \a \!+\! \a x_3 \a \!=\! \a a \end{array} \]
    Zobraziť výsledok
Doplňujúce zdroje
  1. M. Bučko, J. Buša, Š. Schrotter: Lineárna algebra
comments powered by Disqus