Polynómy a racionálne funkcie

Ciele
  1. Zopakovať si delenie polynómu polynómom.
  2. Naučiť sa rozkladať polynóm na súčin koreňových činiteľov s využitím Hornerovej schémy.
  3. Naučiť sa rozkladať rýdzoracionálnu funkciu na súčet elementárnych zlomkov nad poľom \(\mathbb{R}\).
  4. Naučiť sa rozkladať racionálnu funkciu na súčet elementárnych zlomkov nad poľom \(\mathbb{R}\).
Úvod
    Rozklad racionálnej funkcie na súčet elementárnych zlomkov sa využíva napríklad pri výpočte integrálov racionálnych funkcií a tiež pri určovaní spätnej Laplaceovej transformácie, ktorá sa využíva napríklad v teórii riadenia. Samotný rozklad sa dá rozdeliť na nasledujúce kroky: \(\def\a{&}\)
    1. rozklad všeobecnej racionálnej funkcie na súčet polynómu a rýdzoracionálnej funkcie pomocou delenia polynómov;
    2. rozklad menovateľa rýdzoracionálnej funkcie – polynómu – na súčin koreňových činiteľov;
    3. vypísanie tvaru rozkladu rýdzoracionálnej funkcie na súčet elementárnych zlomkov a určenie neznámych koeficientov;
Postup
  1. Úloha rozkladu sa dá sformulovať nasledujúcim spôsobom:
    Úloha: Racionálnu funkciu \begin{equation}\label{RF} R(x)={{2\,x^4-11\,x^3-15\,x^2+95\,x+9}\over{x^3-5\,x^2-9\,x+45}} \end{equation} rozložme na súčet parciálnych (elementárnych) zlomkov nad poľom \(\mathbb{R}\), teda v rámci množiny reálnych čísel.
    Poznámka: Budeme najprv riešiť podúlohy rozkladu racionálnej funkcie na elementárne zlomky a postupne vyriešime úlohy zo všetkých cieľových oblastí uvedené v bodoch 1 – 4.
    Keďže stupeň 4 polynómu v čitateli racionálnej funkcie \eqref{RF} nie je menší ako stupeň 3 polynómu v menovateli, pomocou delenia rozložíme funkciu \(R(x)\) na súčet polynómu a rýdzoracionálnej funkcie.
    Príklad: Vykonajme delenie polynómu \(2\,x^4-11\,x^3-15\,x^2+95\,x+9\) polynómom \(x^3-5\,x^2-9\,x+45\).
    Zobraziť riešenie
    Ďalej sa budeme venovať rozkladu rýdzoracionálnej funkcie \[R_1(x)={{-2\,x^2-4\,x+54}\over{x^3-5\,x^2-9\,x+45}}\] na súčet elementárnych zlomkov.
  2. Rozklad rýdzoracionálnej funkcie \(R_1(x)\) sa začína rozkladom jej menovateľa na súčin koreňových činiteľov.
    Príklad: Rozložme polynóm \(x^3-5\,x^2-9\,x+45\) na súčin koreňových činiteľov.
    Zobraziť riešenie
  3. Teraz môžeme pristúpiť k riešeniu úlohy rozkladu rýdzoracionálnej funkcie na súčet parciálnych zlomkov.
    Príklad: Rozložme rýdzoracionálnu funkciu \[R_1(x)= {{-2\,x^2-4\,x+54}\over{x^3-5\,x^2-9\,x+45}}\] na súčet elementárnych zlomkov.
    Zobraziť riešenie
    Poznámka: Je zrejmé, že v tomto prípade sú obidve metódy ekvivalentné, dosadzovacia metóda je však vhodná na použitie aj v prípade viacnásobných alebo komplexných koreňov.
  4. Na záver možeme zhrnúť jednotlivé úlohy sformulované a riešené v predchádzajúcich krokoch do riešenia nasledujúcej úlohy rozkladu všeobecnej racionálnej funkcie \eqref{RF} na súčet elementárnych zlomkov:
    Príklad: Racionálnu funkciu \[ R(x)={{2\,x^4-11\,x^3-15\,x^2+95\,x+9}\over{x^3-5\,x^2-9\,x+45}} \] rozložme na súčet parciálnych (elementárnych) zlomkov nad poľom \(\mathbb{R}\), teda v rámci množiny reálnych čísel.
    Zobraziť riešenie
    Poznámka: Situácia pri rozklade racionálnej funkcie sa môže komplikovať okrem iného v prípade, ak má menovateľ funkcie násobné alebo komplexné korene. Ďalšie úlohy sú zamerané na tieto prípady.
    Príklad: Rozložte v \(\mathbb{R}\) na parciálne zlomky výraz \begin{equation}\label{RF2} {{2\,x^4+13\,x^3+4\,x^2-60\,x+4}\over{x^3+6\,x^2-32}}\cdot \end{equation}
    Zobraziť riešenie
    Poznámka: Koeficient \(C\) sme mohli určiť aj pomocou ďalšej modifikácie dosadzovacej metódy, keď v rovnici \eqref{RZ2} dosadíme za \(x\) nejaké vhodné číslo, napríklad \(x=0\): \[ \frac{36}{-32}=-\frac{1}{2}+\frac{2}{16}+\frac{C}{4} \qquad\Rightarrow\qquad C=\frac{-36+16-4}{8}=\frac{-24}{8}=-3. \]
    Príklad: Rozložte v \(\mathbb{R}\) na parciálne zlomky výraz \begin{equation}\label{RF3} {{-x^4-7\,x^3-12\,x^2+4\,x+18}\over{x^3+7\,x^2+17\,x+15}}\,\cdot \end{equation}
    Zobraziť riešenie
    Príklad: Rozložme nad \(\mathbb{R}\) funkciu \begin{equation}\label{RF4} {{240\,x^2+86}\over{48\,x^3+40\,x^2-21\,x-18}} \end{equation}
    Zobraziť riešenie
Doplňujúce úlohy
    Úloha: Rozložte v \(\mathbb{R}\) na parciálne zlomky výraz \[ {{2\,x^4+3\,x^3-52\,x^2-115\,x+34}\over{x^3+2\,x^2-23\,x-60}}\cdot \]
    Zobraziť výsledok
    Úloha: Rozložte v \(\mathbb{R}\) na parciálne zlomky výraz \[ {{x-1}\over{x^5+5\,x^4+9\,x^3+5\,x^2-8\,x-12}}\cdot \]
    Zobraziť výsledok
    Úloha: Rozložte v \(\mathbb{R}\) na parciálne zlomky výraz \[ \frac{2p^3+6p^2+p-11}{p^3+3p^2-4}\cdot \]
    Zobraziť výsledok
    Úloha: Rozložte v \(\mathbb{R}\) na parciálne zlomky výraz \[ \frac{z-4}{z^3+3z^2-9z-27}\cdot \]
    Zobraziť výsledok
    Úloha: Rozložte v \(\mathbb{R}\) na parciálne zlomky výraz \[ \frac{2s^2-1}{s^3-7s^2+32s-60} \cdot \]
    Zobraziť výsledok
    Úloha: Rozložte v \(\mathbb{R}\) na parciálne zlomky výraz \[ \frac{4-3x^2}{x^3-12x^2+48x-64} \cdot \]
    Zobraziť výsledok
    Úloha: Rozložte v \(\mathbb{R}\) na parciálne zlomky výraz \[ \frac{p(2p+9)}{p^3+4p^2-12p-80} \cdot \]
    Zobraziť výsledok
    Úloha: Rozložte v \(\mathbb{R}\) na parciálne zlomky výraz \[ \frac{(z+3)(2z+6)}{z^3+15z^2+79z+145}\cdot \]
    Zobraziť výsledok
    Úloha: Rozložte v \(\mathbb{R}\) na parciálne zlomky výraz \[ \frac{s^4+3s^3-3s-3}{s^3+3s^2-4}\cdot \]
    Zobraziť výsledok
    Úloha: Rozložte v \(\mathbb{R}\) na parciálne zlomky výraz \[ {{33\,x-51-3\,x^2}\over{x^3+4\,x^2-9\,x+18}}\cdot \]
    Zobraziť výsledok
    Úloha: Rozložte v \(\mathbb{R}\) na parciálne zlomky výraz \[ {{p^2+2\,p-7}\over{p^3+17\,p^2+95\,p+175}}\cdot \]
    Zobraziť výsledok
    Úloha: Rozložte v \(\mathbb{R}\) na parciálne zlomky výraz \[ {{s^4-9\,s^3+57\,s^2-133\,s+198}\over{s^3-8\,s^2+46\,s-68}}\cdot \]
    Zobraziť výsledok
    Úloha: Rozložte v \(\mathbb{R}\) na parciálne zlomky výraz \[ {{3x^4+x^3+7\,x^2-16\,x+13}\over{x^3+x^2+3\,x-5}}\cdot \]
    Zobraziť výsledok
Doplňujúce zdroje
  1. Stránka predmetu Matematika 1 .
  2. Učebnica Lineárna algebra .
  3. Učebnica Úvod do predmetu Matematika 1 .
Kvíz
comments powered by Disqus