Definičný obor, grafy a základné vlastnosti funkcií

Ciele
  1. Naučiť sa určovať definičný obor funkcií.
  2. Naučiť sa uskutočňovať základné operácie s grafmi funkcií.
  3. Naučiť sa určovať, či je funkcia prostá a či existuje inverzná funkcia k funkcii zadanej graficky.
  4. Zopakovať si elementárne funkcie a naučiť sa načrtávať ich grafy. Dokazovanie párnosti/nepárnosti jednoduchých funkcií.
Úvod
    \(\def\a{&}\def\arctg{\mathop{\mathrm{arctg}}} \def\tg{\mathop{\mathrm{tg}}} \def\arccotg{\mathop{\mathrm{arccotg}}} \def\cotg{\mathop{\mathrm{cotg}}}\) Určenie definičného oboru a náčrt grafov funkcií tvorí súčasť skúmania priebehu funkcií. Graf funkcie slúži na zistenie základných informácií o funkcii, akými sú, napríklad, ohraničenosť/neohraničenosť, párnosť/nepárnosť, monotónnosť, periodicita, spojitosť/nespojitosť alebo znalosť toho, či je funkcia prostá alebo nie. Schopnosť určovať definičný obor a načrtávať grafy elementárnych funkcií sú dobrým predpokladom na zvládnutie riešenia úlohy o priebehu funkcie aj v prípade zložitejších funkcií. V inžinierskej praxi sa stretávame s rôznymi funkciami a ich vlastnosti sú dôležité pri riešení množstva inžinierskych úloh.
Postup
  1. Budeme predpokladať, že funkcia \(f(x)\) je zadaná pravidlom alebo vzorcom, napríklad \[ f(x)=\frac{1}{2+\sqrt{3x+4}}. \] Pod prirodzeným definičným oborom funkcie \(\mathcal{D}(f)\) budeme rozumieť množinu všetkých reálnych hodnôt \(x\), ktoré je možné dosadiť do výrazu, t. j. pre ktoré má daný výraz zmysel. Ďalej prívlastok prirodzený nebudeme písať.
    Poznámka: Definičný obor je možné umelo zúžiť, alebo naopak, často je vhodné rozšírenie definičného oboru dodefinovaním funkčných hodnôt v problematických bodoch.
    Pri určovaní problematických bodov sa budeme venovať nasledujúcim problémom, ktoré zapíšeme symbolicky:
    1. \(\dfrac{1}{\ne 0}\) – menovateľ sa nesmie rovnať nule;
    2. \(\sqrt[2n]{\strut\geqq0}\) – výraz pod párnou (\(2n\), \(n\in\mathbb{N}\)) odmocninou musí byť nezáporný;
    3. \(\log(>0)\) – výraz vnútri logaritmu musí byť kladný;
    4. \(\arcsin(\langle-1;1\rangle)\) – hodnoty výrazu vnútri funkcie arkussínus musia byť z intervalu \(\langle-1;1\rangle\) a
    5. \(\arccos(\langle-1;1\rangle)\) – hodnoty výrazu vnútri funkcie arkuskosínus musia byť z intervalu \(\langle-1;1\rangle\).
    Poznámka: Vyššie uvedené problémy sú typické pri skúmaní väčšiny funkcií, ale nie sú jediné. Napríklad funkcia \(g(x)=\log_x 7\) má aj iné problémy. Mu sa ohraničíme týmito piatimi, ktoré sme uviedli vyššie.
    Poznámka: Ak funkcia nebude obsahovať menovateľ, odmocnicu, logaritmus, arkussínus alebo arkuskosínus, definičným oborom bude množina všetkých reálnych čísel – \(\mathbb{R}\).
    Príklad: Určme definičný obor funkcie \[ f(x)=\frac{1}{2+\sqrt{3x+4}}. \]
    Zobraziť riešenie
    Príklad: Určme definičný obor funkcie \[ h(x)=\frac{1}{2+\sqrt[3]{x+4}}. \]
    Zobraziť riešenie
    Príklad: Určme definičný obor funkcie \[ g(x)=\log\left(\arccos\frac{x}{2x+3}\right). \]
    Zobraziť riešenie
  2. Pri práci s grafmi funkcií je užitočné ovládať zopár základných trikov, t. j. základných manipulácií s grafmi. Niektoré si teraz precvičíme.
    Poznámka: Je zrejmé, že pre funkciu, ktorej definičným oborom je celá množina reálnych čísel, nie sme schopní načrtnúť jej celý graf. Preto v podobných úlohách implicitne predpokladáme, že sa budeme zaoberať len príslušnými časťami grafov.
    Poznámka: Budeme sa najprv venovať grafom funkcií, ktorých pravidlo je zadané ako \(a\cdot f(b\cdot x+c)+d\) za predpokladu, že je známa funkcia \(f(x)\). Každý z koeficientov \(a\), \(b\), \(c\) a \(d\) má svoj význam.
    Príklad: Na základe daného grafu funkcie \(f(x)\) zostrojte náčrt grafu funkcií \(f(x+2)\), \(f(x)-1\), \(f(2x)\) a \(\frac23\cdot f(x)\).
    Zobraziť riešenie
    Príklad: Zostrojte graf funkcie \(f(x)=2x-3\) a na základe náčrtu grafu zostrojte náčrt grafu funkcie \(g(x)=1/f(x)\).
    Zobraziť riešenie
    Poznámka: Funkcia \(g(x)=1/(2x-3)\) patrí do triedy funkcií, ktoré nazývame lineárne lomené funkcie. Sú to funkcie, ktorých predpis je podiel dvoch lineárnych funkcií, t. j. funkcie tvaru \[ r(x)=\frac{ax+b}{cx+d}. \] V našom prípade je \(a=0\), \(b=1\), \(c=2\) a \(d=-3\). Lineárne lomené funkcie patria ďalej do triedy racionálnych funkcií, ktorým sa budeme venovať v nasledujúcom cvičení.
    Poznámka: Podobne môžeme postupovať pri náčrtoch grafov funkcií tvaru \(f(x)\pm g(x)\), resp. \(f(x)\cdot g(x)\) alebo \(f(x)/g(x)\). Napríklad, môžeme využiť nulové body niektorej zo zložiek na určenie funkčnej hodnoty súčtu, rozdielu, súčinu alebo podielu, prípadne iné zaujímavé funkčné hodnoty: \(\pm1\), \(\pm2\) a pod.
  3. V praxi je veľmi dôležité posudzovanie, či má určitá funkcia inverznú funkciu, t. j., či na základe znalosti funkčnej hodnoty \(y=f(x)\) funkcie \(f\) sme schopní identifikovať odpovedajúcu hodnotu nezávisle premennej \(x\). Náčrt grafu funkcie nám často umožní odpovedať na podobné otázky.
    Príklad: Na základe náčrtu grafu funkcie \(f(x)=\sin x\) posúďme, či má funkcie \(\sin x\) inverznú funkciu.
    Zobraziť riešenie
    Poznámka: Je zrejmé, že žiadna periodická funkcia nemôže mať inverznú funkciu!!!
    Poznámka: Je známe, že inverzná funkcia k funkcii \(\sin x\) sa nazýva \(\arcsin x\). Ako je to možné, ak funkcia \(\sin x\) nemôže mať inverznú funkciu? Vysvetlenie podáva riešenie nasledujúcej úlohy.
    Príklad: Určme takú časť grafu funkcie \(\sin x\), ktorá reprezentuje graf prostej funkcie. Pre túto časť načrtnime graf inverznej funkcie.
    Zobraziť riešenie
    Poznámka: Ako sme už vyššie konštatovali, funkcia \(\sin x\) nemá inverznú funkciu. Funkcia \(\arcsin x\) je inverzná funkcia k tzv. zúženiu funkcie \(\sin x\) na interval \(\langle-\pi /2;\pi /2\rangle\), ktoré označujeme ako \(\sin|_{\langle-\pi /2;\pi /2\rangle}\, x\).
  4. Medzi elementárne funkcie zaraďujeme lineárne, kvadratické, mocninové, lineárne-lomené, exponenciálne, logaritmické, goniometrické a cyklometrické funkcie. Ich význam spočíva aj v tom, že pomocou nich vyjadrujeme celý rad zložitejších funkcií, ktoré majú praktické použitie, aj keď sa občas stáva, že je potrebné/vhodné zaviesť ďalšie funkcie, ktoré nedokážeme pomocou elementárnych vyjadriť. Preto sa od študentov požaduje dobrá znalosť vlastností elementárnych funkcií a tiež schopnosť načrtávať ich grafy (pri zadaní funkcií v základnom tvare).
    Príklad: Načrtnime graf logaritmickej funkcie \(\log_2(x+3)\). Posúďte, či je táto funkcia párna alebo nepárna.
    Zobraziť riešenie
    Príklad: Načrtnime graf funkcie \(f(x)=\pi-2\arctg x\). Posúďte, či je táto funkcia párna alebo nepárna, rastúca alebo klesajúca.
    Zobraziť riešenie
    Úloha: Načrtnite graf funkcie \(h(x)=2\arccotg x\).
    Zobraziť výsledok
Doplňujúce úlohy
    Úloha: Určte definičný obor funkcie \[ f(x)=\sqrt[3]{x^3+2x+3}-\frac{\arccos(x^2)}{3+\sqrt{1-x-x^2}}+\mathrm{e}^{-4x}\cdot\sin(3+2x). \]
    Zobraziť výsledok
    Úloha: Určte definičný obor funkcie \[ f(x)=\arcsin(\log_2(x+3))-\frac{x^2+5}{x^2-5}+\mathrm{e}^{-x}\cdot\cos(\pi x). \]
    Zobraziť výsledok
    Úloha: Určte definičný obor funkcie \[ f(x)=\arccotg(x+\pi^2)\cdot\sqrt[3]{x^6+\ln x-7}+\frac{11}{(3-2x)\cdot\ln(x^2+2x-3)}. \]
    Zobraziť výsledok
    Úloha: Určte definičný obor funkcie \[ f(x)=\mathrm{e}^x\cdot\sin(3x)-\frac{\arctg(x^2)}{x\cdot\sqrt{20-x-x^2}}+\sqrt[3]{x^3+2\cotg x+3}. \]
    Zobraziť výsledok
    Úloha: Určte definičný obor funkcie \[ f(x)=\frac{x}{2-\sqrt{x^2-4}}+\arccos\left(2^{-x}\right)+(x+\pi)\cdot\sqrt[5]{x^2-7}. \]
    Zobraziť výsledok
    Úloha: Určte definičný obor a načrtnite graf funkcie \(h(x)=2-x-x^2\). Zistite, či je funkcia párna alebo nepárna.
    Zobraziť výsledok
    Úloha: Určte definičný obor a načrtnite graf funkcie \(g(x)=2\cdot \cos(3x)+4\). Zistite, či je funkcia párna alebo nepárna.
    Zobraziť výsledok
    Úloha: Určte definičný obor a načrtnite graf funkcie \(f(x)=\mathrm{e}^{\sin (2x)}\). Zistite, či je funkcia párna alebo nepárna.
    Zobraziť výsledok
    Úloha: Určte definičný obor a načrtnite graf funkcie \(h(x)=\mathrm{e}^{-x}\cdot \cos (2x)\). Zistite, či je funkcia párna alebo nepárna.
    Zobraziť výsledok
Doplňujúce zdroje
  1. Stránka predmetu Matematika 1 .
  2. Učebnica Úvod do predmetu Matematika 1 .
comments powered by Disqus