Náčrt grafov jednoduchých racionálnych funkcií

Ciele
  1. Naučiť sa určovať definičný obor a body nespojitosti racionálnych funkcií. \(\def\a{&}\)
  2. Naučiť sa určovať jednostranné limity v bodoch nespojitosti racionálnych funkcií a asymptoty bez smernice.
  3. Naučiť sa určovať asymptoty so smernicou racionálnych funkcií.
  4. Naučiť sa určovať nulové body racionálnych funkcií.
  5. Naučiť sa načrtávať grafy racionálnych funkcií.
Úvod
    Náčrt grafov funkcií tvorí súčasť skúmania priebehu funkcií. V prípade mnohých funkcií je možné načrtnúť hypotézy grafu funkcie už po zistení základných informácií o funkcii. Konkrétne po:
    1. určení definičného oboru funkcie;
    2. vyšetrení správania sa funkcie v krajných bodoch definičného oboru;
    3. určení nulových bodov funkcie.
    Tieto úlohy sa najjednoduchšie riešia v prípade jednoduchých racionálnych funkcií, preto začneme riešením úloh pre tento prípad.
Postup
  1. Venujme sa teda najprv určovaniu definičného oboru racionálnych funkcií. Keďže z možných problémov prichádza do úvahy len nulový menovateľ funkcie, riešenie úlohy určenia problematických bodov spočíva v riešení algebraickej rovnice, ktorej ľavú stranu tvorí menovateľ funkcie.
    Príklad: Určme definičný obor funkcie \begin{equation}\label{cv61} f(x)=\frac{x}{x^2+1}. \end{equation}
    Zobraziť riešenie
    Príklad: Určme definičný obor funkcie \begin{equation}\label{cv62} g(x)=\frac{x^2+1}{x+1}. \end{equation}
    Zobraziť riešenie
    Príklad: Určme definičný obor funkcie \begin{equation}\label{cv63} h(x)=\frac{x^2-x-2}{x^3-7x-6}. \end{equation}
    Zobraziť riešenie
  2. Po určení definičného oboru môžeme upresniť správanie sa funkcie v blízkom okolí problematických bodov. Predtým, ako pristúpime k riešeniu nasledujúcich úloh, zavedieme niekoľko užitočných označení, ktoré budeme používať na zjednodušenie zápisu postupu riešenia. Pritom použijeme tzv. fuzzy (nie celkom presné, neurčité) pojmy malé a veľké. Dohodnuté označenia:
    • malé kladné číslo budeme označovať \(+0\) alebo tiež \(0^+\);
    • malé záporné číslo, t. j. číslo, ktorého absolútna hodnota je malá, budeme označovať \(-0\) alebo tiež \(0^-\);
    • veľké kladné číslo budeme označovať \(+\infty\) alebo tiež jednoducho \(\infty\);
    • veľké záporné číslo, t. j. číslo, ktorého absolútna hodnota je veľká, budeme označovať \(-\infty\);
    • hodnotu, ktorá sa nachádza tesne pod hodnotou \(a\), t. j. číslo, ktoré je menšie ako číslo \(a\) a nachádza sa veľmi blízko \(a\), označíme \(a^-\) (čítame to číslo \(a\) zľava);
    • hodnotu, ktorá sa nachádza tesne nad hodnotou \(a\), t. j. číslo, ktoré je väčšie ako číslo \(a\) a nachádza sa veľmi blízko \(a\), označíme \(a^+\) (čítame to číslo \(a\) sprava).
    Pri takejto dohode bude zrejme platiť (skúste symboly nahradiť ich slovnými definíciami): \begin{equation}\label{cv6_mv} \frac{1}{+\infty}=+0,\quad \frac{1}{-\infty}=-0,\quad \frac{1}{+0}=+\infty,\quad \frac{1}{-0}=-\infty. \end{equation} Ak si predstavíme, že hodnoty sú veľmi malé alebo veľmi veľké, rovnosti (\ref{cv6_mv}) predstavujú skrátený zápis nasledujúcich nevlastných (jednostranných) limít: \begin{equation}\label{cv6_lim} \lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x}=+0,\quad \lim_{x\to-\infty}\frac{1}{x}=-0,\quad \lim_{x\to0^+}\frac{1}{x}=+\infty,\quad \lim_{x\to0^-}\frac{1}{x}=-\infty. \end{equation} Práve v takomto limitnom zmysle budeme chápať zápisy (\ref{cv6_mv}) a (\ref{cv6_lim}) ako ekvivalentné.

    Podobne môžeme zapísať (premyslite si zmysel týchto zápisov): \[ a^-=a+(-0)=a+0^-=a-(+0)=a-0^+, \] \[ a^+=a+(+0)=a+0^+=a-(-0)=a-0^-. \]
    Príklad: Určme všetky jednostranné limity v bodoch nespojitosti funkcie \begin{equation}\label{cv64} f(x)=\frac{x^2-4}{x^3-4x^2-3x+18}. \end{equation}
    Zobraziť riešenie
    Príklad: Určme všetky jednostranné limity v bodoch nespojitosti funkcie \begin{equation}\label{cv66} g(x)=\frac{x+4}{x^3}. \end{equation}
    Zobraziť riešenie
  3. Asymptoty so smernicou pomáhajú lepšie pochopiť správanie sa funkcií (nielen racionálnych) pri veľkých hodnotách nezávisle premennej \(x\). Priamka \(y=k_+\cdot x +q_+\) sa nazýva asymptota so smernicou funkcie \(f(x)\) v bode \(x=+\infty\) práve vtedy, ak \begin{equation}\label{eq:ass} \lim_{x\to\infty} \big[f(x)-(k_+\cdot x +q_+)\big]=0, \end{equation} resp. priamka \(y=k_-\cdot x +q_-\) sa nazýva asymptota so smernicou funkcie \(f(x)\) v bode \(x=-\infty\) práve vtedy, ak \begin{equation}\label{eq:assm} \lim_{x\to-\infty} \big[f(x)-(k_-\cdot x +q_-)\big]=0. \end{equation} Z definície asymptoty so smernicou (skrátene ASS) vyplývajú v prípade jej existencie nasledujúce vzorce: \begin{equation}\label{eq:kaq} k_+=\lim_{x\to+\infty} \frac{f(x)}x,\qquad q_+=\lim_{x\to+\infty}\big[f(x)-k_+\cdot x\big], \end{equation} \begin{equation}\label{eq:kaqm} k_-=\lim_{x\to-\infty} \frac{f(x)}x,\qquad q_-=\lim_{x\to-\infty}\big[f(x)-k_-\cdot x\big]. \end{equation}
    Poznámka: Čísla \(k_+\), resp. \(k_-\) sú smernice priamok \(y=k_+\cdot x +q_+\), resp. \(y=k_-\cdot x +q_-\), preto majú tieto asymptoty prívlastok so smernicou. Asymptoty uvažované v predchádzajúcom oddieli typu \(x=x_*\) nie je možné zapísať v smernicovom tvare, preto majú prívlastok bez smernice.
    Príklad: Určme asymptoty so smernicou funkcie funkcie \[ f(x)=\frac{x^2-x+5}{x+3}. \]
    Zobraziť riešenie
    Príklad: Určme ASS funkcie \[ r(x)=\frac{3-2x^3}{x^2+2x-4}. \]
    Zobraziť riešenie
    Príklad: Určme asymptoty so smernicou funkcie \[ g(x)=\frac{x^3}{x-5}. \]
    Zobraziť riešenie
  4. Ďalším krokom pri štúdiu vlastností racionálnych funkcií je určovanie ich nulových bodov. Za nulové body považujeme priesečníky grafu funkcie \(R(x)\) so súradnicovými osami. S osou \(o_y\) môže mať graf najviac jeden priesečník, ktorý existuje vždy v prípade, ak bod 0 patrí do definičného oboru \(\mathcal{D}(R)\) funkcie \(R\). V tom prípade má funkcia \(R(x)\) nulový bod \((0;R(0))\).

    Priesečníky grafu s osou \(o_x\) sú tie body grafu, v ktorých racionálna funkcia nadobúda nulové funkčné hodnoty, t. j. body \((x_0;0)\), pre tie \(x_0\), pre ktoré platí \(R(x_0)=0\).

    V prípade racionálnej funkcie v tvare \[ R(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}, \] platí \[ R(x_0)=0\qquad\Longleftrightarrow\qquad P(x_0)=0\ \wedge\ Q(x_0)\ne0, \] t. j. na určenie priesečníkov s osou \(o_x\) je potrebné vyriešiť algebrickú rovnicu \[ P(x)=0 \] a overiť, či riešenie \(x_0\) patrí do definičného oboru \(\mathcal{D}(R)\), čiže či \(Q(x_0)\ne0\).
    Príklad: Určme všetky nulové body funkcie (\ref{cv64}) \[ R(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}=\frac{x^2-4}{x^3-4x^2-3x+18}. \]
    Zobraziť riešenie
    Poznámka: O nulových bodoch – priesečníkoch grafu s osou \(o_x\) – môžeme povedať viac, než len konštatovať, že \(R(x_0)=0\). Pri náčrte funkcií sa nám môže hodiť aj informácia o tom, či sa pri prechode nulovým bodom mení znamienko funkčných hodnôt a ako, alebo či sa znamienko nemení.
    Príklad: Určme všetky nulové body funkcie \[ f(x)=\frac{x^3+10\,x^2+33\,x+36}{x} \] a skúmajme ich charakter, t. j. správanie sa funkcie v blízkosti nulových bodov.
    Zobraziť riešenie
    Poznámka: Môžeme si všimnúť, že ak je násobnosť bodu \(x_0\) nepárna (za predpokladu, že patrí do definičného oboru), bude nulový bod \((x_0;0)\) pretínať os \(o_x\) – vtedy budeme hovoriť o pretínacom nulovom bode – pri prechode cez tento bod sa mení znamienko funkčných hodnôt. Ak je násobnosť párna, budeme hovoriť o odrážacom nulovom bode – pri prechode cez tento bod sa zachováva znamienko funkčných hodnôt.
    Poznámka: Aj v prípade určovania asymptot bez smernice rozhoduje o zmene znamienka pri prechode cez bod nespojitosti jeho násobnosť v menovateli (za predpokladu, že nie je zároveň koreňom čitateľa). V prípade párnej násobnosti sa znamienka nemenia, v prípade nepárnej násobnosti sa znamienka menia. Tento fakt je možné efektívne využiť pri konštrukcii nárčtu grafu racionálnych (ale nielen racionálnych) funkcií.
  5. Zvládnutie predchádzajúcich cieľov nám už umožňuje vytváranie náčrtov racionálnych funkcií.
    Príklad: Načrtnime graf funkcie \[ g(x)={{x^3-4\,x^2+5\,x-2}\over{x^3+11\,x^2+35\,x+25}} \]
    Zobraziť riešenie
    Príklad: Načrtnime graf funkcie \[ h(x)={{x^2-x-6}\over{x^2}} \]
    Zobraziť riešenie
    Poznámka: V tomto prípade sa ukazuje, že hypotéza náčrtu grafu je nesprávna, t. j. nevystihuje všetky kvalitatívne vlastnosti samotného grafu. Napríklad funkcia \(h(x)\) má lokálne maximum, hypotéza grafu nie. Presnejší náčrt grafu vidíte na nasledujúcom obrázkoch.
    Zobraziť riešenie
    Príklad: Načrtnime graf funkcie \[ f(x)={{x^2+1}\over{x-2}} \]
    Zobraziť riešenie
Doplňujúce úlohy
    Úloha: Určte asymptoty so smernicou funkcie \[ f(x)=\frac{x^2-x+5}{x+3} \] metódou delenia polynómov.
    Zobraziť výsledok
    Úloha: Určte asymptoty so smernicou a bez smernice, nulové body a vytvorte hypotézu náčrtu grafu funkcie \[ f(x)=\frac{x}{x^2+1}. \]
    Zobraziť výsledok
    Úloha: Určte asymptoty so smernicou a bez smernice, nulové body a vytvorte hypotézu náčrtu grafu funkcie \[ g(x)=\frac{x^2+1}{x+1}. \]
    Zobraziť výsledok
    Úloha: Určte asymptoty so smernicou a bez smernice, nulové body a vytvorte hypotézu náčrtu grafu funkcie \[ h(x)=\frac{x^2-x-2}{x^3-7x-6}. \]
    Zobraziť výsledok
    Úloha: Určte asymptoty so smernicou a bez smernice, nulové body a vytvorte hypotézu náčrtu grafu funkcie \[ f(x)=\frac{x^2-4}{x^3-4x^2-3x+18} \]
    Zobraziť výsledok
    Úloha: Určte asymptoty so smernicou a bez smernice, nulové body a vytvorte hypotézu náčrtu grafu funkcie \[ g(x)=\frac{(x+4)^2}{x^4}. \]
    Zobraziť výsledok
    Úloha: Určte asymptoty so smernicou a bez smernice, nulové body a vytvorte hypotézu náčrtu grafu funkcie \[ f(x)=\frac{x^2-x+5}{2x+3}. \]
    Zobraziť výsledok
    Úloha: Určte asymptoty so smernicou a bez smernice, nulové body a vytvorte hypotézu náčrtu grafu funkcie \[ r(x)=\frac{3-2x^3}{x^2+2x-4}. \]
    Zobraziť výsledok
Doplňujúce zdroje
  1. Stránka predmetu Matematika 1 .
  2. Učebnica Lineárna algebra .
  3. Učebnica Úvod do predmetu Matematika 1 .
comments powered by Disqus