Tu napíšte názov cvičenia.

Ciele
  1. Tu napíšte aspoň jeden cieľ.
  2. Tu napíšte aspoň jeden cieľ.
Úvod
    \(\def\a{&}\)\(\def\tg{\mathop{\rm tg}} \def\cotg{\mathop{\rm cotg}} \def\arctg{\mathop{\rm arctg}} \def\arccotg{\mathop{\rm arccotg}} \def\e{\mathrm e}\) Nech funkcie \(f\) a \(g\) majú na množine \(M\) deriváciu. Potom platí: \begin{eqnarray} (cf)^\prime \a =\a cf^\prime,\ \mbox{kde}\ c\ \mbox{je číslo}\\ (f+g)^\prime \a =\a f^\prime+g^\prime\\ (f-g)^\prime \a =\a f^\prime-g^\prime\\ (fg)^\prime \a = \a f^\prime g+ f g^\prime\\ \left(\frac{f}{g}\right)^\prime\a =\a\frac{f^\prime g - f g^\prime}{f^2},\ \mbox{kde}\ g\neq 0 \end{eqnarray} Derivácie elementárnych funkcií:
    Pre každé \(x\) z definičného oboru platia nasledujúce vzorce. \[ \begin{array}{lll} 1.\ (c)^\prime=0\ \mbox{kde}\ c\ \mbox{je číslo}\a \phantom{Emi} \a 2.\ (x^n)^\prime=nx^{n-1}\ \mbox{kde}\ n\ \mbox{je reálne číslo}\\ 3.\ (\e^x)^\prime=\e^x\a \phantom{Emi}\a 4. \ (a^x)^\prime=a^x\ln a\\ 5.\ (\ln x)^\prime= \frac{1}{x} \a \phantom{Emi}\a 6.\ (\log_a x)^\prime= \frac{1}{x \ln a}\\ 7.\ (\sin x)^\prime=\cos x \a \a 8. \ (\cos x)^\prime= -\sin x\\ 9.\ (\tg x)^\prime=\frac{1}{\cos^2 x} \a \a 10. \ (\cotg x)^\prime= -\frac{1}{\sin^2 x}\\ 11.\ (\arcsin x)^\prime=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \a \a 12. \ (\arccos x)^\prime= -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\\ 13.\ (\arctg x)^\prime=\frac{1}{1+x^2} \a \a 14.\ (\arccotg x)^\prime=-\frac{1}{1+x^2}\\ 15.\ (f(g(x)))^\prime=f(g(x)) g^\prime (x) \a \a 16.\ (f(x)^{g(x)})^\prime=(e^{g(x)\ln f(x)})^\prime \end{array} \]
Postup
  1. Derivácia základných funkcií
    Príklad: Vypočítajme deriváciu funkcie \(f(x)=x^4-2x+3\sqrt{x} +4 \sqrt[3]{x^4}-5\).
    Riešenie: Najprv prepíšeme odmocniny pomocou mocnín, \[f(x)=x^4-2x+3x^{\frac{1}{2}} +4 x^{\frac{4}{3}}-5.\] Využijeme vzťahy (1), (2), (3) a vzorce čísla 1. a 2. Dostávame \[f^\prime(x)=4x^3-2+\frac{3}{2}x^{-\frac{1}{2}} +\frac{16}{3} x^{\frac{1}{3}}.\]
    Príklad: Vypočítajme deriváciu funkcie \(f(x)=2^x \sin x\).
    Riešenie: Použijeme vzťah (4) a vzorce 4. a 7. Potom \[f^\prime(x)=2^x \ln 2 \sin x+2^x \cos x.\]
    Úloha: Vypočítajme deriváciu funkcie \(f(x)=\frac{\ln x}{x^3}.\)
    Riešenie: Použijeme vzťah (5) a vzorce 5. a 2. Potom \[f^\prime(x)=\frac{\frac{1}{x}x^6-\ln x 3x^2}{x^6}=\frac{x^3-3\ln x}{x^4}.\]
  2. Derivácia zložených funkcií
    Príklad: Vypočítajme deriváciu funkcie
    1. \(f(x)=(\tg x + \e^x - \log_2 x)^{11}\)
    2. \(f(x)=11^{\cos x+2\arctg x}\).
    Riešenie: Obidve funkcie sú zložené funkcie. \begin{itemize} \item[\emph{a)}] Zložky funkcie \(f(x)=(\tg x + \e^x - \log_2 x)^{11}\) sú \(u=g(x)\) a \(g(x)=\tg x + \e^x - \log_2 x\) a \(f(u)=u^{11}\). Podľa vzorca 15., dostaneme \[f^\prime(x)=(u^{11})^\prime_{u=g(x)}g^\prime(x) = (11u^{10})_{u=\tg x + \e^x - \log_2 x}(\tg x + \e^x - \log_2 x)^\prime=\] \[=11(\tg x + \e^x - \log_2 x)^{10}) \Big(\frac{1}{\cos^2 x}+\e^x-\frac{1}{x\ln 2}\Big).\] \item[\emph{b)}] Zložky funkcie \(f(x)=11^{\cos x+2\arctg x}\) sú \(u=g(x)\) a \(g(x)=\cos x+2\arctg x\) a \(f(u)=11^u\). Podľa vzorca 15., dostaneme \[f^\prime(x)=(11^u)^\prime_{u=g(x)}g^\prime(x) = (11^u\ln 11)_{u=\cos x+2\arctg x}(\cos x+2\arctg x)^\prime=\]\[= 11^{\cos x+2\arctg x}\ln 11 \Big(-\sin x+2\frac{1}{1+x^2}\Big) .\] \end{itemize}
    Príklad: Vypočítajme deriváciu funkcie \(f(x)=(\sin x)^{\ln x}\).
    Riešenie: Použijeme vzťah číslo 16. Upravíme funkciu \[f(x)=(\sin x)^{\ln x}=\e^{(\sin x)^{\ln x}} = \e^{\ln x \ln \sin x}\] a derivujeme ju pomocou vzorca 15., \[f^\prime(x)=(\e^{\ln x \ln \sin x})^\prime = \e^{\ln x \ln \sin x}(\ln x \ln \sin x)^\prime = \e^{\ln x \ln \sin x}\Big(\frac{1}{x} \ln \sin x+ \ln x \frac{1}{\sin x}\cos x\Big)= \]\[= (\sin x)^{\ln x}\Big(\frac{ \ln \sin x}{x}+ \ln x \tg x\Big).\]
  3. Geometrický význam derivácie Derivácia funkcie \(f^\prime(x_0)\) v bode \(x_0\) je smernica dotyčnice ku grafu funkcie \(y=f(x)\) v bode \(A=[x_0, f(x_0)]\). Nech \(y_0=f(x_0)\) a \(y^\prime_0=f^\prime(x_0)\). Rovnica dotyčnice \(t\) ku grafu funkcie \(y=f(x)\) v bode \(A\) je \[y-y_0=f^\prime(x_0)(x-x_0).\] Ak \(f^\prime(x_0)\neq 0\), rovnica normály \(n\) ku grafu funkcie \(y=f(x)\) v bode \(A\) je \[y-y_0=-\frac{1}{f^\prime(x_0)}(x-x_0).\]
    Príklad: Nájdime rovnicu dotyčnice a normály ku grafu funkcie \(y=x^2 +4x+1\) v bode \(A=[0, ?]\).
    Riešenie: Vypočítame \(y\)-ovú súradnicu bodu \(A\), \(y_0=1\). Teda \(A=[0,1]\). Funkciu \(f(x)=x^2 +4x+1\) zderivujeme, máme \(f^\prime(x)=2x +4\). Potom \(f^\prime(0)=4\), čo je smernica hľadanej dotyčnice. Podľa vzťahu pre výpočet rovnice dotyčnice ku grafu funkcie \(y=f(x)\) v bode \(A=[x_0, f(x_0)]\), dostávame rovnicu tejto dotyčnice: \[y-1=4(x-0),\] teda \[4x-y-1=0.\] Rovnica normály ku grafu funkcie \(y=f(x)\) v bode \(A\) je \[y-1=-\frac{1}{4}(x-0),\] teda \[x+4y-4=0.\]
    Príklad: Nájdime rovnicu dotyčnice a normály ku grafu funkcie \(y=\ln x\), pričom dotyčnica je rovnobežná s priamkou \(p:\ 2x -y-3=0\).
    Riešenie: Keďže dotyčnica je rovnobežná s priamkou \(p\), obe priamky majú rovnaké normálové vektory \(\vec{n}_p=(2,-1)=\vec{n}_t\), rovnica dotyčnice \(t\) je \[2x-y+c=0,\] t. j. \[y=2x+c.\] Teda má smernicu 2. Ale jej smernica je tiež \(f^\prime(x_0)=\frac{1}{x_0} \), odtiaľ získame \(x_0=\frac{1}{4}\). Potom \(y_0=f(x_0)=\ln \frac{1}{4}\). Máme \(A=[\frac{1}{4},\ln \frac{1}{4}]\). Vypočítame neznámu konštantu \(c\) dosadením súradníc dotykového bodu do rovnice dotyčnice, \(2\frac{1}{4}-\ln \frac{1}{4}+c=0\), odtiaľ dostávame \(c=\ln \frac{1}{4}- \frac{1}{2}\). Rovnica dotyčnice je: \[y=2x+\ln \frac{1}{4}+\frac{1}{2}.\] Rovnica normály ku grafu funkcie \(y=\ln x\) v bode \(A=[\frac{1}{4},\ln \frac{1}{4}]\) je \[y-\ln \frac{1}{4}=-\frac{1}{2}(x-\frac{1}{4}),\] teda \[4x+8y-8\ln \frac{1}{4}-1=0.\]
    Príklad: Nájdime rovnicu dotyčnice a normály ku grafu funkcie \(y=x^2 -2x+3\), ak dotyčnica je kolmá na priamku \(q:\ x +y-1=0\).
    Riešenie: Keďže dotyčnica je kolmá na priamku \(q\), skalárny súčin ich normálových vektorov je nula. Z rovnice priamky \(q\) vieme určiť jej normálový vektor \(\vec{n}_q=(1,1)\). Potom normálový vektor hľadanej dotyčnice \(t\) je \(\vec{n}_t=(1,-1)\). Rovnica dotyčnice \(t\) je \[x-y+c=0,\] t. j. \[y=x+c.\] Teda jej smernica je 1. Ale jej smernica je tiež \(f^\prime(x_0)=2x_0-2 \), odtiaľ získame \(x_0=\frac{3}{2}\), potom \(y_0=f(x_0)=(\frac{3}{2})^2 -2\frac{3}{2}+3=\frac{9}{4}\), máme \(A=[\frac{3}{2}, \frac{9}{4}]\). Vypočítame neznámu konštantu \(c\) dosadením súradníc dotykového bodu do rovnice dotyčnice, \(\frac{3}{2}- \frac{9}{4}+c=0\). Odtiaľ dostávame \(c=\frac{3}{4}\). Rovnica dotyčnice je: \[y=x+ \frac{3}{4}.\] Rovnica normály ku grafu funkcie \(y=x^2 -2x+3\) v bode \(A=[\frac{3}{2}, \frac{9}{4}]\) je \[y- \frac{9}{4}=-(x-\frac{3}{2}),\] teda \[4x+4y-15=0.\]
  4. Derivácie vyšších rádov Deriváciou druhého rádu alebo druhou deriváciou funkcie \(y=f(x)\) nazývame funkciu \((f^\prime)^\prime\), teda deriváciu prvej derivácie funkcie \(y=f(x)\). Označujeme ju \(y^{\prime\prime}\) alebo \(f^{\prime\prime}\) alebo \(\frac{d^2f}{dx^2}\). Deriváciou \(n\)-tého rádu alebo \(n\)-tou deriváciou funkcie \(y=f(x)\) nazývame deriváciu \((n-1)\)-ej derivácie funkcie \(y=f(x)\), ak tieto existujú. Derivácie vyšších rádov označujeme \(f^{\prime\prime}\), \(f^{\prime\prime\prime}\), \(f^{(4)}\), \(\dots\), \(f^{(k)}\), \(\dots\) alebo \(y^{\prime\prime}\), \(y^{\prime\prime\prime}\), \(y^{(4)}\), \(\dots\), \(y^{(k)}\), \(\dots\) alebo \(\frac{d^2f}{dx^2}\), \(\frac{d^3f}{dx^3}\), \(\frac{d^4f}{dx^4}\), \(\dots\), \(\frac{d^kf}{dx^k}\), \(\dots\)
    Príklad: Vypočítajme \(y^{\prime\prime}\), ak \(y=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\).
    Riešenie: Vypočítajme najprv prvú deriváciu \(y^\prime\). Máme \[y^\prime=\frac{\sqrt{1+x^2}-x\frac{1}{2}\frac{2x}{\sqrt{1+x^2}}}{1+x^2}=\frac{\frac{1+x^2-x^2}{\sqrt{1+x^2}}}{1+x^2}=\frac{1}{\sqrt{(1+x^2)^3}}\] Podľa definície druhej derivácie je \[y^{\prime\prime}=(y^\prime)^\prime=\left((1+x^2)^{-\frac{3}{2}}\right)^\prime=-\frac{3}{2}(1+x^2)^{-\frac{5}{2}}2x=-\frac{3x}{\sqrt{(1+x^2)^5}}\].
    Príklad: Daná je funkcia \(y=x\e^{-x^2}\). Vypočítajme \(y^{\prime\prime}(1)\).
    Riešenie: Vypočítajme najprv prvú deriváciu \(y^\prime\). Dostávame \[y^\prime=\e^{-x^2}+x\e^{-x^2}(-2x)=\e^{-x^2}(1-2x^2)\] Potom druhá derivácia je \[y^{\prime\prime}=\left(\e^{-x^2}(1-2x^2)\right)^\prime=\e^{-x^2}(-2x)(1-2x^2)+\e^{-x^2}(-4x)=\e^{-x^2}(-2x+4x^3-4x)=\e^{-x^2}(4x^3-6x).\] Pre \(x=1\) platí \(y^{\prime\prime}(1)=\e^{-1^2}(4-6)=-2\e^{-1}\).
    Príklad: Vypočítajme deriváciu štvrtého rádu \(y^{(4)}\) funkcie \(y=\frac{2}{(3x+4)^5}\).
    Riešenie: Platí \[y^\prime=\left(\frac{1}{(2x+3)^4}\right)^\prime=((2x+3)^{-4})^\prime=-8(2x+3)^{-5}=\frac{-8}{(2x+3)^5 }\] \[y^{\prime\prime}=(y^\prime)^\prime=\left(\frac{-8}{(2x+3)^5}\right)^\prime=-8\cdot (-10)\cdot (2x+3)^{-6}=\frac{80}{(2x+3)^6}\] \[y^{\prime\prime\prime}=(y^{\prime\prime})^\prime=\left(\frac{80}{(2x+3)^6}\right)^\prime=80\cdot (-12)\cdot (2x+3)^{-7}=\frac{-960}{(2x+3)^7}\] \[y^{(4)}=(y^{\prime\prime\prime})^\prime=\left(\frac{-960}{(2x+3)^7}\right)^\prime=-960\cdot (-14)\cdot (2x+3)^{-8}=\frac{13440}{(2x+3)^8}\]
Zdroje
  1. Tu vložte zdroje používané na cvičení.
  2. Tu vložte zdroje používané na cvičení.
Doplňujúce úlohy
    Úloha: Tu napíšte úlohy ktoré sú pripravené nad základný rámec cvičenia.
    Úloha: Tu napíšte úlohy ktoré sú pripravené nad základný rámec cvičenia.
Doplňujúce zdroje
  1. Tu vložte doplňujúce odporúčané zdroje.
  2. Tu vložte doplňujúce odporúčané zdroje.
comments powered by Disqus