L'Hospitalovo pravidlo

Ciele
    Postup
    1. L'Hospitalovo pravidlo pre výpočet limít Nech \(\def\e{{\rm e}} \def\cotg{{\rm cotg\,}}\def\arctg{{\rm arctg\,}}\lim\limits_{x\rightarrow a}f(x)=\lim\limits_{x\rightarrow a}g(x)=0\) alebo \(\lim\limits_{x\rightarrow a}\left|g(x)\right|=\infty\) a nech eixistuje \(\lim\limits_{x\rightarrow a}\frac{f^\prime(x)}{g^\prime(x)}\). Potom existuje \(\lim\limits_{x\rightarrow a}\frac{f(x)}{g(x)}\) a platí \[\lim\limits_{x\rightarrow a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim\limits_{x\rightarrow a}\frac{f^\prime(x)}{g^\prime(x)}.\]
      Príklad: Vypočítajme \(\lim\limits_{x\rightarrow 1}\frac{x^2-1}{x^3-2x^2+2x-1}\).
      Riešenie: Položme \(f(x)=x^2-1\) a \(g(x)=x^3-2x^2+2x-1\). Potom \(\lim\limits_{x\rightarrow 1} f(x)=\lim\limits_{x\rightarrow 1} g(x)=0\). Použitím L'Hospitalovho pravidla dostaneme \[\lim\limits_{x\rightarrow 1}\frac{x^2-1}{x^3-2x^2+2x-1}=\lim\limits_{x\rightarrow 1}\frac{2x}{3x^2-4x+2}=2.\]
      Príklad: Vypočítajme \(\lim\limits_{x\rightarrow \infty}\frac{\e^{2x}}{x^2}\).
      Riešenie: Položme \(f(x)=\e^{2x}\) a \(g(x)=x^2\). Potom \(\lim\limits_{x\rightarrow \infty} f(x)=\lim\limits_{x\rightarrow \infty} g(x)=\infty\). Keďže aj \(\lim\limits_{x\rightarrow \infty} f^\prime(x)=\lim\limits_{x\rightarrow \infty}g^\prime(x)=\infty\), použitím L'Hospitalovho pravidla dostaneme \[\lim\limits_{x\rightarrow \infty}\frac{\e^{2x}}{x^2}=\lim\limits_{x\rightarrow \infty}\frac{2\e^{2x}}{2x}=\lim\limits_{x\rightarrow \infty}\frac{4\e^{2x}}{2}=\infty.\]
      Príklad: Vypočítajme \(\lim\limits_{x\rightarrow 0^+}\frac{\ln x}{\cotg x}\).
      Riešenie: Táto limita je tvaru \(\frac{-\infty}{\infty}\), pričom \(f(x)=\ln x\) a \(g(x)=\cotg x\). Potom platí \[\lim\limits_{x\rightarrow 0^+}\frac{\ln x}{\cotg x}=\lim\limits_{x\rightarrow 0^+}\frac{\frac{1}{x}}{-\frac{1}{\sin^2 x}}=\lim\limits_{x\rightarrow 0^+}\frac{-\sin^2 x}{ x}=\lim\limits_{x\rightarrow 0^+}\frac{-2\sin x \cos x}{ 1}=0.\]
    2. Ďalšie limity, ktoré sa dajú vypočítať pomocou L'Hospitalovho pravidla Pomocou L'Hospitalovho pravidla počítame limity tvaru \(\lim\limits_{x\rightarrow a}\frac{f(x)}{g(x)}\), ktoré vedú k výrazom typu \(\frac{0}{0}\), \(\frac{\infty}{\infty}\). Na tieto typy limít sa dajú vhodnými úpravami previesť limity \(\lim\limits_{x\rightarrow a}\frac{f(x)}{g(x)}\), ktoré vedú k výrazom typu \(0\cdot \infty\), \(\infty-\infty\), \(1^\infty\), \(0^0\), \(\infty^0\).
      Príklad: Vypočítajme \(\lim\limits_{x\rightarrow 0^+}\left(\frac{1}{2x}-\frac{1}{\sin x}\right)\).
      Riešenie: Daná limita je typu \(\infty - \infty\). Úpravou dostaneme \[\lim\limits_{x\rightarrow 0^+}\left(\frac{1}{2x}-\frac{1}{\sin x}\right)=\lim\limits_{x\rightarrow 0^+}\frac{\sin x - 2x}{2x\ \sin x}.\] Táto limita je typu \(\frac{0}{0}\), pričom \(f(x)=\sin x - 2x\) a \(g(x)=2x\ \sin x\). Potom použitím L'Hospitalovho pravidla dostaneme \[\lim\limits_{x\rightarrow 0^+}\frac{\sin x - 2x}{2x\ \sin x}=\lim\limits_{x\rightarrow 0^+}\frac{\cos x - 2}{2\sin x\ +2x\cos x}=\frac{-1}{\lim\limits_{x\rightarrow 0^+}(2\sin x\ +2x\cos x)}=-\infty.\] Teda \[\lim\limits_{x\rightarrow 0^+}\left(\frac{1}{2x}-\frac{1}{\sin x}\right)=-\infty.\]
      Príklad: Vypočítajme \(\lim\limits_{x\rightarrow 0^+}x\ln x\).
      Riešenie: Daná limita je typu \(0\cdot (- \infty)\). Úpravou dostaneme \[\lim\limits_{x\rightarrow 0^+}x\ln x=\lim\limits_{x\rightarrow 0^+}\frac{\ln x}{x^{-1}}.\] Táto limita je typu \(\frac{0}{0}\), pričom \(f(x)=\ln x\) a \(g(x)=x^{-1}\). Potom použitím L'Hospitalovho pravidla dostaneme \[\lim\limits_{x\rightarrow 0^+}\frac{\ln x}{x^{-1}}=\lim\limits_{x\rightarrow 0^+}\frac{\frac{1}{x}}{-x^{-2} }=\lim\limits_{x\rightarrow 0^+}(-x )=0.\] Teda \[\lim\limits_{x\rightarrow 0^+}x\ln x=0.\]
      Príklad: Vypočítajme \(\lim\limits_{x\rightarrow 0^+}x^x\).
      Riešenie: Daná limita je typu \(0^0\). Úpravou dostaneme \[\lim\limits_{x\rightarrow 0^+}x^ x=\lim\limits_{x\rightarrow 0^+}\e^{\ln x^x}=\lim\limits_{x\rightarrow 0^+}\e^{x\ln x}.\] Keďže táto limita je limitou zloženej funkcie, platí \[\lim\limits_{x\rightarrow 0^+}\e^{x\ln x}=\e^{\lim\limits_{x\rightarrow 0^+}x\ln x}.\] Teraz využijeme výsledok predchádzajúceho príkladu, máme \[\e^{\lim\limits_{x\rightarrow 0^+}x\ln x}=\e^0=1.\] Teda \[\lim\limits_{x\rightarrow 0^+} x^x=1.\]
      Príklad: Vypočítajme \(\lim\limits_{x\rightarrow \infty}x^{\frac{1}{x}}\).
      Riešenie: Daná limita je typu \(\infty^0\). Úpravou dostaneme \[\lim\limits_{x\rightarrow \infty}x^{\frac{1}{x}}=\lim\limits_{x\rightarrow \infty}\e^{\ln {x^{\frac{1}{x}}}}=\lim\limits_{x\rightarrow \infty}\e^{\frac{\ln x}{x}}.\] Opäť sa jedná o limitu zloženej funkcie, teda \[\lim\limits_{x\rightarrow \infty}\e^{\frac{\ln x}{x}}=\e^{\lim\limits_{x\rightarrow \infty}\frac{\ln x}{x}}=\e^{\lim\limits_{x\rightarrow \infty}\frac{\frac{1}{x}}{1}}=\e^0=1.\] Teda \[\lim\limits_{x\rightarrow \infty}x^{\frac{1}{x}}=1.\]
      Príklad: Vypočítajme \(\lim\limits_{x\rightarrow 1^-}x^{\frac{1}{1-x}}\).
      Riešenie: Daná limita je typu \(1^\infty\). Úpravou dostaneme \[\lim\limits_{x\rightarrow 1^-}x^{\frac{1}{1-x}}=\lim\limits_{x\rightarrow 1^-}\e^{\ln {x^{\frac{1}{1-x}}}}=\lim\limits_{x\rightarrow 1^-}\e^{\frac{\ln x}{1-x}}.\] Opäť sa jedná o limitu zloženej funkcie, teda \[\lim\limits_{x\rightarrow 1^-}\e^{\frac{\ln x}{1-x}}=\e^{\lim\limits_{x\rightarrow 1^-}\frac{\ln x}{1-x}}=\e^{\lim\limits_{x\rightarrow 1^-}\frac{\frac{1}{x}}{-1}}=\e^{\lim\limits_{x\rightarrow 1^-}\frac{-1}{x}}=\e^{-1}.\] Teda \[\lim\limits_{x\rightarrow 1^-}x^{\frac{1}{1-x}}=\frac{1}{\e}.\]
    3. Asymptoty Priamku, ktorá má rovnicu \(y=a\) nazývame asymptotou bez smernice grafu funkcie \(f\), ak funkcia \(f\) má v čísle \(a\) nevlastnú limitu, nevlastnú limitu zľava alebo nevlastnú limitu sprava. Priamku, ktorá má rovnicu \(y=ax+b\) nazývame asymptotou so smernicou grafu funkcie \(f\), ak platí \[\lim\limits_{x\rightarrow \infty}(f(x)-(ax+b))=0\] alebo \[\lim\limits_{x\rightarrow \infty}(f(x)-(ax+b))=0.\] Vieme, že ak existujú limity \(\lim\limits_{x\rightarrow \infty}\frac{f(x)}{x}=a\) a \(\lim\limits_{x\rightarrow \infty}(f(x)-ax)=b\) alebo \(\lim\limits_{x\rightarrow -\infty}\frac{f(x)}{x}=a\) a \(\lim\limits_{x\rightarrow -\infty}(f(x)-ax)=b\), tak priamka \(y=ax+b\) je asymptotou so smernicou grafu funkcie \(f\).
      Príklad: Nájdime asymptoty grafu funkcie \(y=\frac{x}{x-1}\).
      Riešenie: Keďže platí \[\lim\limits_{x\rightarrow 1^+}\frac{x}{x-1}=\infty,\] priamka \(y=1\) je asymptotou bez smernice danej funkcie. Iné asymptoty bez smernice neexistujú, lebo daná funkcia je spojitá pre každé \(x\neq 1\). Teraz hľadajme asymptoty so smernicou. Vypočítajme limity
      \(\qquad a=\displaystyle\lim\limits_{x\rightarrow \infty}\frac{f(x)}{x}=\lim\limits_{x\rightarrow \infty}\frac{1}{x-1}=0,\)

      \(\qquad b=\displaystyle\lim\limits_{x\rightarrow \infty}(f(x)-ax)=\lim\limits_{x\rightarrow \infty}\left(\frac{x}{x-1}-0\cdot x\right)=1,\)

      \(\qquad \displaystyle a=\lim\limits_{x\rightarrow -\infty}\frac{f(x)}{x}=\lim\limits_{x\rightarrow -\infty}\frac{1}{x-1}=0,\)

      \(\qquad b=\displaystyle\lim\limits_{x\rightarrow -\infty}(f(x)-ax)=\lim\limits_{x\rightarrow -\infty}\left(\frac{x}{x-1}-0\cdot x\right)=1.\)

      Teda priamka \(y=1\) je asymptotou so smernicou grafu danej funkcie.
      Príklad: Nájdime asymptoty grafu funkcie \(y=x\cdot \arctg x\).
      Riešenie: Daná funkcia je spojitá pre každé \(x\), asymptotou bez smernice danej funkcie neexistuje. Hľadajme asymptoty so smernicou. Vypočítame limity
      \(\qquad a=\lim\limits_{x\rightarrow \infty}\frac{f(x)}{x}=\lim\limits_{x\rightarrow \infty} \arctg x=\frac{\pi}{2}, \)

      \(\qquad b=\lim\limits_{x\rightarrow \infty}(f(x)-ax)=\lim\limits_{x\rightarrow \infty}\left(x \arctg x - \frac{\pi}{2} x\right)= \lim\limits_{x\rightarrow \infty}x \left(\arctg x - \frac{\pi}{2}\right)= \)

      \( \qquad \phantom{b}=\lim\limits_{x\rightarrow \infty}\frac{\arctg x - \frac{\pi}{2}}{ x^{-1}}=\lim\limits_{x\rightarrow \infty}\frac{\frac{1}{1+x^2}}{-x^{-2}}= \lim\limits_{x\rightarrow \infty}\frac{-x^2}{1+x^2}=-1, \)

      \( \qquad a=\lim\limits_{x\rightarrow -\infty}\frac{f(x)}{x}=\lim\limits_{x\rightarrow -\infty} \arctg x=-\frac{\pi}{2}, \)

      \( \qquad b=\lim\limits_{x\rightarrow -\infty}(f(x)-ax)=\lim\limits_{x\rightarrow -\infty}\left(x \arctg x + \frac{\pi}{2} x\right)= \lim\limits_{x\rightarrow -\infty}x \left(\arctg x - \frac{\pi}{2}\right)= \)

      \( \qquad \phantom{b}=\lim\limits_{x\rightarrow -\infty}\frac{\arctg x - \frac{\pi}{2}}{ x^{-1}}=\lim\limits_{x\rightarrow -\infty}\frac{\frac{1}{1+x^2}}{-x^{-2}}=\lim\limits_{x\rightarrow -\infty}\frac{-x^2}{1+x^2}=-1. \)

      Teda priamky \(y=\frac{\pi}{2}x-1\) a \(y=-\frac{\pi}{2}x-1\) sú asymptotami so smernicou grafu danej funkcie.
    Doplňujúce úlohy
      Úloha: Tu napíšte úlohy ktoré sú pripravené nad základný rámec cvičenia.
      Úloha: Tu napíšte úlohy ktoré sú pripravené nad základný rámec cvičenia.
    Doplňujúce zdroje
    1. Tu vložte doplňujúce odporúčané zdroje.
    2. Tu vložte doplňujúce odporúčané zdroje.
    comments powered by Disqus