Priebeh funkcie\(\def\a{&}\def\e{\mathrm{e}}\)

Ciele
    Postup
    1. Pri určovaní priebehu funkcie zisťujeme:
      1. definičný obor funkcie,
      2. párnosť, nepárnosť funkcie,
      3. nulové body funkcie,
      4. asymptoty grafu funkcie,
      5. stacionárne body funkcie,
      6. intervaly, kde je funkcia monotónna,
      7. lokálne extrémy funkcie.
      8. inflexné body funkcie,
      9. intervaly, kde je funkcia konkávna, konvexná.
      Na základe tohto zostrojíme graf funkcie.
      Príklad: Zistime priebeh funkcie \(f(x)=\frac{x^2+1}{x}\).
      Riešenie: \
      1. Funkcia \(f\) je definovaná pre všetky \(x\neq 0\), t. j. definičný obor funkcie je \(D(f)=(-\infty,0)\cup (0,\infty)\).
      2. Pre každé \(x\in D(f)\) existuje \((-x)\in D(f)\) a platí \(f(-x)=\frac{(-x)^2+1}{-x}=-\frac{x^2+1}{x}=-f(x)\). Funkcia \(f\) je nepárna.
      3. Keďže rovnica \(x^2+1=0\) nemá riešenie, nulové body funkcie \(f\) neexistujú.
      4. Funkcie \(x^2+1\) aj \(x\) sú spojité, teda aj funkcia \(f(x)=\frac{x^2+1}{x}\) je spojitá v každom čísle \(x\in D(f)\). Je nespojitá v čísle \(x=0\). Pre limity funkcie \(f\) v čísle \(x=0\) platí \[\lim\limits_{x\rightarrow 0^+}\frac{x^2+1}{x}=\infty,\ \ \ \ \ \ \lim\limits_{x\rightarrow 0^+}\frac{x^2+1}{x}=-\infty.\] Teda priamka \(x=1\) je asymptotou bez smernice danej funkcie. Určme, či existujú asymptoty so smernicou \(y=ax+b\) ku grafu funkcie \(f\). Vypočítame limity \[a=\lim\limits_{x\rightarrow \infty}\frac{f(x)}{x}=\lim\limits_{x\rightarrow \infty}\frac{\frac{x^2+1}{x}}{x}=\lim\limits_{x\rightarrow \infty}\frac{x^2+1}{x^2}=1\] \[b=\lim\limits_{x\rightarrow \infty}(f(x)-ax)=\lim\limits_{x\rightarrow \infty}\left(\frac{x^2+1}{x}-x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow \infty}\frac{1}{x}=0\] Podobne vypočítame \[a=\lim\limits_{x\rightarrow -\infty}\frac{f(x)}{x}=\lim\limits_{x\rightarrow -\infty}\frac{\frac{x^2+1}{x}}{x}=\lim\limits_{x\rightarrow -\infty}\frac{x^2+1}{x^2}=1\] \[b=\lim\limits_{x\rightarrow -\infty}(f(x)-ax)=\lim\limits_{x\rightarrow -\infty}\left(\frac{x^2+1}{x}-x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow -\infty}\frac{1}{x}=0\] Teda priamka \(y=x\) je asymptota so smernicou.
      5. Vypočítajme deriváciu \[f^\prime(x)=\left(\frac{x^2+1}{x}\right)^\prime=\frac{2x\cdot x -(x^2+1)}{x^2}=\frac{x^2-1}{x^2}.\] Derivácia \(f^\prime\) sa rovná nule práve vtedy, keď \(x^2-1=0\), t. j. keď \(x=1\) alebo \(x=-1\). Derivácia \(f^\prime\) je definovaná pre každé \(x\in D(f)\). Stacionárnymi bodmi funkcie \(f\) sú čísla 1, -1.
      6. Stacionárne body a číslo 0, kde nie je funkcia definovaná, rozdeľujú definičný obor \(D(f)\) na intervaly \[ (-\infty,-1),\ (-1,0), \ (0,1),\ (1,-\infty).\] Zistime znamienka derivácie v jednotlivých intervaloch a tak určíme monotónnosť funkcie. Urobme tabuľku \[ \begin{array}{r|c|c|c|c|} x \a (-\infty,-1) \a (-1,0) \a (0,1) \a (1,\infty)\\ \hline f^\prime(x) \a + \a - \a - \a + \\ \hline f(x) \a \nearrow \a \searrow \a \searrow \a \nearrow\\ \hline \end{array} \] Funkcia \(f\) je klesajúca na intervaloch \((-1,0),\ (0,1)\) a rastúca na intervaloch \((-\infty,-1),\ (1,\infty)\).
      7. Na základe monotónnosti funkcie \(f\) určíme jej lokálne extrémy. V čísle \(x=-1\) funkcia nadobúda lokálne maximum, v čísle \(x=1\) nadobúda lokálne minimum a v čísle \(x=0\) funkcia nemôže nadobúdať extrém, keďže v ňom nie je definovaná.
      8. Vypočítajme druhú deriváciu \[f^{\prime\prime}(x)=\left(\frac{x^2-1}{x^2}\right)^\prime=\frac{2x\cdot x^2-(x^2-1)2x}{x^4}=\frac{2}{x^3}.\] Derivácia \(f^{\prime\prime}\) je definovaná pre každé \(x\in D(f)\) a je vždy nenulová, pretože \(\frac{2}{x^3}\neq 0\). Teda inflexné body neexistujú.
      9. Zistime znamienka druhej derivácie v jednotlivých intervaloch definičného oboru a potom určme konkávnosť a konvexnosť. Urobme tabuľku \[ \begin{array}{r|c|c|} x \a (-\infty,0)\a (0,\infty)\\ \hline f^{\prime\prime}(x) \a - \a + \\ \hline f(x) \a \cap \a \cup\\ \hline \end{array} \] Funkcia je konkávna na intervale \((-\infty,0)\) a konvexná na intervale \((0,\infty)\).
      Príklad: Zistime priebeh funkcie \(f(x)=x \ln x\).
      Riešenie: \
      1. Funkcia \(f\) je definovaná pre všetky \(x> 0\), t. j. definičný obor funkcie je \(D(f)=(0,\infty)\).
      2. Keďže neplatí, že pre každé \(x\in D(f)\) existuje \((-x)\in D(f)\), funkcia \(f(x)\) nie je ani párna ani nepárna.
      3. Rovnica \(x \ln x=0\) má riešenie \(x=1\), je to nulový bod funkcie \(f\).
      4. Funkcie \(x\) aj \(\ln x\) sú spojité, teda aj funkcia \(f(x)=x\ln x\) je spojitá v každom čísle \(x\in D(f)\). Vypočítajme jednostrannú limitu funkcie \(f\) v čísle \(x=0\). \[\lim\limits_{x\rightarrow 0^+}x\ln x=\lim\limits_{x\rightarrow 0^+}\frac{\ln x}{\frac{1}{x}}=\lim\limits_{x\rightarrow 0^+}\frac{\frac{1}{x}}{-\frac{1}{x^{2}}}=0.\] Limita nie je nevlastné číslo, teda priamka \(x=0\) nie je asymptotou bez smernice danej funkcie. Určme, či existujú asymptoty so smernicou \(y=ax+b\) ku grafu funkcie \(f\). Vypočítame najprv limitu \[a=\lim\limits_{x\rightarrow \infty}\frac{f(x)}{x}=\lim\limits_{x\rightarrow \infty}\ln x=\infty\] Teda asymptota so smernicou neexistuje.
      5. Vypočítajme deriváciu \[f^\prime(x)=\left(x\ln x\right)^\prime=\ln x+x\frac{1}{x}=\ln +1.\] Derivácia \(f^\prime\) sa rovná nule práve vtedy, keď \(\ln x=-1\), t. j. keď \(x=\frac{1}{\e}\). Funkcia \(f^\prime\) je definovaná pre každé \(x\in D(f)\). Stacionárnym bodom funkcie \(f\) je číslo \(\frac{1}{\e}\).
      6. Číslo \(\frac{1}{\e}\) rozdeľuje definičný obor \(D(f)\) na intervaly \[ \left(0, \frac{1}{\e}\right),\ \left( \frac{1}{\e},\infty\right).\] Zistime znamienka derivácie v týchto intervaloch. Urobme tabuľku \[ \begin{array}{r|c|c|} x \a (0,\frac{1}{\e}) \a (\frac{1}{\e},\infty)\\ \hline f^\prime(x) \a - \a + \\ \hline f(x) \a \searrow \a \nearrow\\ \hline \end{array} \] Funkcia \(f\) je klesajúca na intervale \((0,\frac{1}{\e})\) a rastúca na intervale \((\frac{1}{\e},\infty)\).
      7. Na základe predchádzajúcej tabuľky vieme, že v čísle \(x=\frac{1}{\e}\) funkcia \(f\) nadobúda lokálne minimum.
      8. Vypočítajme druhú deriváciu \[f^{\prime\prime}(x)=\frac{1}{x}.\] Derivácia \(f^{\prime\prime}\) je definovaná pre každé \(x\in D(f)\) a je vždy kladná. Teda inflexné body funkcie \(f\) neexistujú.
      9. Druhá derivácia \(f^{\prime\prime}\) je vždy kladná, funkcia \(f\) je na celom definičnom obore konvexná.
      Príklad: Zistime priebeh funkcie \(f(x)=x^2 \e ^{\frac{1}{x}}\).
      Riešenie: \
      1. Funkcia \(f\) je definovaná pre všetky \(x\neq 0\), t. j. definičný obor funkcie je \(D(f)=(-\infty,0)\cup (0,\infty)\).
      2. Keďže pre každé \(x\in D(f)\) existuje \((-x)\in D(f)\), pre ktoré \(f(-x)=(-x)^2\e^{\frac{1}{-x}}=x^2\e^{-\frac{1}{x}}\). Nakoľko \(f(-x)\neq f(x)\) a tiež \(f(-x)\neq -f(x)\), funkcia \(f\) nie je ani je párna ani nepárna.
      3. Vieme, že \(x^2 \e ^{\frac{1}{x}}\neq 0\), nulové body funkcie \(f\) neexistujú.
      4. Funkcie \(x^2\) aj \( \e ^{\frac{1}{x}}\) sú spojité, teda aj funkcia \(f(x)=x^2 \e ^{\frac{1}{x}}\) je spojitá v každom čísle \(x\in D(f)\). V čísle \(x=0\) je funkcia \(f\) nespojitá. Pre limity funkcie \(f\) v čísle \(x=0\) platí \[\lim\limits_{x\rightarrow 0^-}x^2 \e ^{\frac{1}{x}}=0\] \[\lim\limits_{x\rightarrow 0^+}x^2 \e ^{\frac{1}{x}}=\lim\limits_{x\rightarrow 0^+} \frac{\e ^{\frac{1}{x}}}{\frac{1}{x^2}}=\lim\limits_{x\rightarrow 0^+} \frac{-\frac{1}{x^2}\e ^{\frac{1}{x}}}{-2\frac{1}{x^3}}=\lim\limits_{x\rightarrow 0^+} \frac{\e ^{\frac{1}{x}}}{2\frac{1}{x}}=\lim\limits_{x\rightarrow 0^+} \frac{-\frac{1}{x^2}\e ^{\frac{1}{x}}}{-2\frac{1}{x^2}}=\lim\limits_{x\rightarrow 0^+} \frac{1}{2}\e ^{\frac{1}{x}}=\infty.\] Priamka \(x=0\) je asymptotou bez smernice danej funkcie. Určme, či existujú asymptoty so smernicou \(y=ax+b\) ku grafu funkcie \(f\). Vypočítame najprv limity \[a=\lim\limits_{x\rightarrow \infty}\frac{f(x)}{x}=\lim\limits_{x\rightarrow \infty}x\e ^{\frac{1}{x}}=\infty.\] \[a=\lim\limits_{x\rightarrow -\infty}\frac{f(x)}{x}=\lim\limits_{x\rightarrow -\infty}x\e ^{\frac{1}{x}}=-\infty.\] Teda asymptota so smernicou neexistuje.
      5. Vypočítajme deriváciu \[f^\prime(x)=\left(x^2 \e ^{\frac{1}{x}}\right)^\prime=2x\e ^{\frac{1}{x}}+x^2\e ^{\frac{1}{x}}\left(-\frac{1}{x^2}\right)=\e ^{\frac{1}{x}}(2x-1).\] Derivácia \(f^\prime\) sa rovná nule práve vtedy, keď \(2x-1=0\), t. j. keď \(x=\frac{1}{2}\) a \(f^\prime\) je definovaná pre každé \(x\in D(f)\). Stacionárnym bodom funkcie \(f\) je číslo \(\frac{1}{2}\).
      6. Stacionárny bod funkcie \(f\) a číslo 0, kde nie je funkcia \(f\) definovaná, rozdeľujú definičný obor \(D(f)\) na intervaly \[ \left(-\infty,0\right),\ \left(0,\frac{1}{2}\right), \ \left(\frac{1}{2},\infty\right).\] Zistime znamienka derivácie \(f^\prime\) v jednotlivých intervaloch a tak určíme monotónnosť funkcie. Urobme tabuľku \[ \begin{array}{r|c|c|c|} x \a (-\infty,0) \a (0,\frac{1}{2}) \a (\frac{1}{2},\infty)\\ \hline f^\prime(x)\a - \a - \a + \\ \hline f(x) \a \searrow \a \searrow \a \nearrow\\ \hline \end{array} \] Funkcia \(f\) je klesajúca na intervaloch \((-\infty,0),\ (0,\frac{1}{2})\) a rastúca na intervale \((\frac{1}{2},\infty)\).
      7. V čísle \(x=\frac{1}{2}\) funkcia nadobúda lokálne minimum.
      8. Vypočítajme druhú deriváciu \[f^{\prime\prime}(x)=\left(\e ^{\frac{1}{x}}(2x-1)\right)^\prime=2\e ^{\frac{1}{x}}+(2x-1)\e^{\frac{1}{x}}(-\frac{1}{x^2})=\e ^{\frac{1}{x}}\left(2-\frac{2x-1}{x^2}\right)=\e ^{\frac{1}{x}}\frac{2x^2-2x+1}{x^2}.\] Derivácia \(f^{\prime\prime}\) je definovaná pre každé \(x\in D(f)\) a keďže \(2x^2-2x+1\neq 0\), je vždy nenulová. Teda inflexné body funkcie \(f\) neexistujú.
      9. Zistime znamienka druhej derivácie v jednotlivých intervaloch definičného oboru a tak určíme konkávnosť a konvexnosť. Urobme tabuľku \[ \begin{array}{r|c|c|} x \a (-\infty,0)\a (0,\infty)\\ \hline f^{\prime\prime}(x) \a - \a + \\ \hline f(x) \a \cap \a \cup\\ \hline \end{array} \] Funkcia \(f\) je konkávna na intervale \((-\infty,0)\) a konvexná na intervale \((0,\infty)\).
      Príklad: Zistime priebeh funkcie \(f(x)=\sqrt[3]{1-x^3}\).
      Riešenie: \
      1. Definičný obor funkcie \(f\) je množina reálnych čísel \(\mathbb R\).
      2. Keďže pre každé \(x\in \mathbb R\) existuje \((-x)\in \mathbb R\), pre ktoré \(f(-x)=\sqrt[3]{1-(-x)^3}=\sqrt[3]{1+x^3}\). Keďže \(f(-x)\neq f(x)\) ani \(f(-x)\neq -f(x)\), funkcia \(f\) nie je ani je párna ani nepárna.
      3. Nulový bod funkcie \(f\) je bod \(x=1\).
      4. Funkcie \(\sqrt[3]{1-x^3}\) je spojitá v každom čísle \(x\in \mathbb R\). Asymptoty bez smernice danej funkcie neexistujú. Určme, či existujú asymptoty so smernicou \(y=ax+b\) ku grafu funkcie \(f\). Vypočítame limity \[a=\lim\limits_{x\rightarrow \infty}\frac{f(x)}{x}=\lim\limits_{x\rightarrow \infty}\frac{\sqrt[3]{1-x^3}}{x}=\lim\limits_{x\rightarrow \infty}\sqrt[3]{\frac{1-x^3}{x^3}}=\sqrt[3]{\lim\limits_{x\rightarrow \infty}\frac{1-x^3}{x^3}}=\sqrt[3]{-1}=-1\] \[b=\lim\limits_{x\rightarrow \infty}(f(x)-ax)=\lim\limits_{x\rightarrow \infty}(\sqrt[3]{1-x^3}+x)=\]\[=\lim\limits_{x\rightarrow \infty}\frac{(\sqrt[3]{1-x^3}+x)(\sqrt[3]{(1-x^3)^2}-x\sqrt[3]{1-x^3}+x^2)}{\sqrt[3]{(1-x^3)^2}-x\sqrt[3]{1-x^3}+x^2}=\]\[=\lim\limits_{x\rightarrow \infty}\frac{(1-x^3)+x^3}{\sqrt[3]{(1-x^3)^2}-x\sqrt[3]{1-x^3}+x^2}=0\] Podobne vypočítame \[a=\lim\limits_{x\rightarrow -\infty}\frac{f(x)}{x}=\lim\limits_{x\rightarrow -\infty}\frac{\sqrt[3]{1-x^3}}{x}=\lim\limits_{x\rightarrow -\infty}\sqrt[3]{\frac{1-x^3}{x^3}}=\sqrt[3]{\lim\limits_{x\rightarrow -\infty}\frac{1-x^3}{x^3}}=\sqrt[3]{-1}=-1\] \[b=\lim\limits_{x\rightarrow -\infty}(f(x)-ax)=\lim\limits_{x\rightarrow -\infty}(\sqrt[3]{1-x^3}+x)=\]\[=\lim\limits_{x\rightarrow \infty}\frac{(\sqrt[3]{1-x^3}+x)(\sqrt[3]{(1-x^3)^2}-x\sqrt[3]{1-x^3}+x^2)}{\sqrt[3]{(1-x^3)^2}-x\sqrt[3]{1-x^3}+x^2}=\]\[=\lim\limits_{x\rightarrow \infty}\frac{(1-x^3)+x^3}{\sqrt[3]{(1-x^3)^2}-x\sqrt[3]{1-x^3}+x^2}=0\] Teda priamka \(y=-x\) je asymptota so smernicou.
      5. Derivácia \[f^\prime(x)=\left(\sqrt[3]{1-x^3}\right)^\prime=\frac{1}{3}(1-x^3)^{-\frac{2}{3}}(-3x^2)=\frac{-x^2}{\sqrt[3]{(1-x^3)^2}}.\] Derivácia \(f^\prime\) je definovaná pre každé \(x\in \mathbb R-\{1\}\) a je rovná nule práve vtedy, keď \(x=0\). Stacionárnymi bodmi funkcie \(f\) sú čísla \( 0, 1\).
      6. Stacionárne body rozdeľujú množinu reálnych čísel \(\mathbb R\) na intervaly \[ (-\infty,0),\ (0,1), \ (1,\infty).\] Zistime znamienka derivácie \(f^\prime\) v jednotlivých intervaloch. Urobme tabuľku \[ \begin{array}{r|c|c|c|} x \a (-\infty,0) \a (0,1) \a (1,\infty)\\ \hline f^\prime(x)\a - \a - \a - \\ \hline f(x) \a \searrow \a \searrow \a \searrow\\ \hline \end{array} \] Funkcia \(f\) je klesajúca na celom definičnom obore \(\mathbb R\).
      7. Z monotónnosti vyplýva, že lokálny extrém funkcie \(f\) neexistuje.
      8. Vypočítajme druhú deriváciu \[f^{\prime\prime}(x)=\left(\frac{-x^2}{\sqrt[3]{(1-x^3)^2}}\right)^\prime=\frac{-2x\sqrt[3]{(1-x^3)^2}+x^2\frac{2}{3}(1-x^3)^{-\frac{1}{3}}(-3x^2)}{\sqrt[3]{(1-x^3)^4}}=\] \[=\frac{-2x(1-x^3)-2x^4}{\sqrt[3]{(1-x^3)^5}}=\frac{-2x}{\sqrt[3]{(1-x^3)^5}}.\] Derivácia \(f^{\prime\prime}\) je rovná nule práve vtedy, keď \(x=0\) a je definovaná pre všetky \(x\in \mathbb R-\{1\}\) . Teda inflexné body funkcie \(f\) sú body \(x=0\) a \(x=1\).
      9. Inflexné body rozdeľujú množinu reálnych čísel \(\mathbb R\) na intervaly \[ (-\infty,0),\ (0,1), \ (1,\infty).\] Zistime znamienka derivácie \(f^{\prime\prime}\) v jednotlivých intervaloch. Urobme tabuľku. \[ \begin{array}{r|c|c|c|} x \a (-\infty,0)\a (0,1)\a (1,\infty)\\ \hline f^{\prime\prime}(x) \a + \a - \a +\\ \hline f(x) \a \cap \a \cup\ \a \cup\\ \hline \end{array} \] Funkcia \(f\) je konkávna na intervale \((0,1)\) a konvexná na intervaloch \((-\infty,0),\ (1,\infty)\).
    Zdroje
    1. Tu vložte zdroje používané na cvičení.
    2. Tu vložte zdroje používané na cvičení.
    Doplňujúce úlohy
      Úloha: Tu napíšte úlohy ktoré sú pripravené nad základný rámec cvičenia.
      Úloha: Tu napíšte úlohy ktoré sú pripravené nad základný rámec cvičenia.
    Doplňujúce zdroje
    1. Tu vložte doplňujúce odporúčané zdroje.
    2. Tu vložte doplňujúce odporúčané zdroje.
    comments powered by Disqus