Neurčitý integrál

Ciele
  1. Naučiť študentov integrovanie rozkladom a úpravou využitím základných integračných vzorcov.
  2. Naučiť študentov integrovanie pomocou substitučnej metódy.
  3. Naučiť študentov integrovanie pomocou metódy per partes.
Úvod
    \(\def\a{&}\def\arctg{\mathop{\mathrm{arctg}}} \def\tg{\mathop{\mathrm{tg}}} \def\arccotg{\mathop{\mathrm{arccotg}}} \def\cotg{\mathop{\mathrm{cotg}}} \def\myint#1{\displaystyle\int #1 \,\mathrm{d}x} \def\e{\mathrm{e}}\) Niektoré základné vzorce integrovania (vzorce platia na intervaloch, na ktorých sú funkcie definované)
    1. \(\myint{x^\alpha}=\dfrac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1}+C\), pre \(\alpha\ne-1\);
    2. Poznámka: \(\myint{ }=\myint{1}=x+C\) je možné chápať ako prípad \(\alpha=0\).
    3. \(\myint{\dfrac{1}{x}}=\ln|x|+C\);
    4. \(\myint{\e^x}=\e^x+C\);
    5. \(\myint{a^x}=\dfrac{a^x}{\ln a}+C\), pre \(a>0\), \(a\ne1\);
    6. \(\myint{\sin x}=-\cos x+C\);
    7. \(\myint{\cos x}=\sin x+C\);
    8. \(\myint{\dfrac{1}{a^2-x^2}}=\dfrac{1}{2a}\,\ln \left|\dfrac{a+x}{a-x}\right|+C\), pre \(a\ne0\);
    9. \(\myint{\dfrac{1}{a^2+x^2}}=\dfrac{1}{a}\,\arctg \dfrac{x}{a}+C\), pre \(a\ne0\);
    10. \(\myint{\dfrac{1}{\sqrt{x^2\pm a^2}}}=\ln\left|x+\sqrt{x^2\pm a^2}\right|+C\), pre \(a\ne0\);
    11. \(\myint{\dfrac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}}=\arcsin \dfrac{x}{a}+C\), pre \(a\ne0\);
    12. \(\myint{\dfrac{f^\prime(x)}{f(x)}}=\ln|f(x)|+C\).
Postup
  1. Integrovanie rozkladom a úpravou
    Príklad: Vypočítajme integrál \(\displaystyle\myint{\left(\frac{2}{x}-\frac{3}{x^2}+\sqrt[3]{x^2}-\frac{2}{\sqrt x}\right)}\).
    Zobraziť riešenie
    Príklad: Vypočítajme integrál \(\myint{x\left( {x+1} \right)\left( {x-2} \right)}\).
    Zobraziť riešenie
    Príklad: Vypočítajme integrál \(\displaystyle\myint{\frac{x^2-2x+6}{\sqrt x }}\).
    Zobraziť riešenie
  2. Integrovanie pomocou substitúcie Pri integrovaní substitúciou využívame najčastejšie takúto schému \[ \myint{f\left[ {\varphi \left( x \right)} \right]\cdot {\varphi }'\left( x \right)}=\left| {\begin{array}{c} \varphi \left( x \right)=t \\ \;{\varphi }'\left( x \right)\,\mathrm{d}x=\mathrm{d}t\; \\ \end{array}} \right|=\int{f\left( t \right)} \,\mathrm{d}t. \]
    Príklad: Vypočítajme integrál \(\myint{2x\cdot \e^{x^2+3}}\).
    Zobraziť riešenie
    Príklad: Vypočítajme integrál \(\myint{\frac{\sqrt {2+\ln x} }{x}}\).
    Zobraziť riešenie
    Príklad: Vypočítajme integrál \(\myint{\frac{\sqrt {2+\ln x} }{x}} \).
    Zobraziť riešenie
    Príklad: Vypočítajme integrál \(\myint{\frac{x-1}{\sqrt[3]{x+1}}} \).
    Zobraziť riešenie
    Príklad: Vypočítajme integrál \(\myint{\e^{4x}} \).
    Zobraziť riešenie
  3. Integrovanie pomocou per partes Pri integrovaní pomocou metódy per partes využívame vzorce \[ \myint{u\left( x \right){v}'\left( x \right)}=u\left( x \right)v\left( x \right)- \myint{{u}'\left( x \right)v\left( x \right)}, \] \[ \displaystyle\int u\cdot\mathrm{d}v=u\cdot v- \displaystyle\int v\cdot\mathrm{d}u. \] Túto metódu je možné využiť napríklad pri takýchto typoch integrálov:
    • \(\myint{P_n \left( x \right) \cdot \e^{kx+q}}\), pričom voľba funkcií \(u\left( x \right)\) a \(v\left( x \right)\) je: \(u=P_n \left( x \right)\) a \({v}'=\e^{kx+q}\) a metóda sa opakuje \(n\)-krát.
    • \(\myint{P_n \left( x \right) \cdot \sin (kx+q)}\), pričom voľba funkcií \(u\left( x \right)\) a \(v\left( x \right)\) je: \(u=P_n \left( x \right)\) a \({v}'=\sin (kx+q)\) a metóda sa opakuje \(n\)-krát.
    • \(\myint{P_n \left( x \right) \cdot \cos (kx+q)}\), pričom voľba funkcií \(u\left( x \right)\) a \(v\left( x \right)\) je: \(u=P_n \left( x \right)\) a \({v}'=\cos (kx+q)\) a metóda sa opakuje \(n\)-krát.
    • \(\myint{P_n \left( x \right) \cdot \log _a x}\), pričom voľba funkcií \(u\left( x \right)\) a \(v\left( x \right)\) je: \({v}'=P_n \left( x \right)\) a \(u=\log _a x\).
    • \(\myint{P_n \left( x \right) \cdot \arcsin x}\), pričom voľba funkcií \(u\left( x \right)\) a \(v\left( x \right)\) je: \({v}'=P_n \left( x \right)\) a \(u=\arcsin x\).
    • \(\myint{P_n \left( x \right) \cdot \arccos x}\), pričom voľba funkcií \(u\left( x \right)\) a \(v\left( x \right)\) je: \({v}'=P_n \left( x \right)\) a \(u=\arccos x\).
    • \(\myint{P_n \left( x \right) \cdot \arctg x}\), pričom voľba funkcií \(u\left( x \right)\) a \(v\left( x \right)\) je: \({v}'=P_n \left( x \right)\) a \(u=\arctg x\).
    • \(\myint{P_n \left( x \right) \cdot \arccotg x}\) pričom voľba funkcií \(u\left( x \right)\) a \(v\left( x \right)\) je: \({v}'=P_n \left( x \right)\) a \(u=\arccotg x\).
    Poznámka: Vo všetkých uvedených vzorcoch je \(P_n(x)\) polynóm \(n\)-tého stupňa.
    • \(\myint{\e^{kx+q}\cdot\sin(ax+b)}\), pričom voľba funkcií je \(u=\e^{kx+q}\) a \(v'=\sin(ax+b)\) alebo \(v'=\e^{kx+q}\) a \(u=\sin(ax+b)\) a metóda sa opakuje dvakrát.
    • \(\myint{\e^{kx+q}\cdot\cos(ax+b)}\), pričom voľba funkcií je \(u=\e^{kx+q}\) a \(v'=\cos(ax+b)\) alebo \(v'=\e^{kx+q}\) a \(u=\cos(ax+b)\) a metóda sa opakuje dvakrát.
    • \(\myint{\sin(kx+q)\cdot\cos(ax+b)}\), pričom voľba funkcií je \(u=\sin(kx+q)\) a \(v'=\cos(ax+b)\) alebo \(v'=\sin(kx+q)\) a \(u=\cos(ax+b)\) a metóda sa opakuje dvakrát.
    • \(\myint{\sin(kx+q)\cdot\sin(ax+b)}\), pričom voľba funkcií je \(u=\sin(kx+q)\) a \(v'=\sin(ax+b)\) alebo \(v'=\sin(kx+q)\) a \(u=\sin(ax+b)\) a metóda sa opakuje dvakrát.
    • \(\myint{\cos(kx+q)\cdot\cos(ax+b)}\), pričom voľba funkcií je \(u=\cos(kx+q)\) a \(v'=\cos(ax+b)\) alebo \(v'=\cos(kx+q)\) a \(u=\cos(ax+b)\) a metóda sa opakuje dvakrát.
    • Poznámka: Súčin sínusov a kosínusov sa efektívnejšie integruje použitím goniometrických vzorcov.
    Príklad: Vypočítajme integrál\(\myint{\left( {3x-5} \right) \cdot \e^x}\).
    Zobraziť riešenie
    Príklad: Vypočítajme integrál \(\myint{\left( {x^2-1} \right) \cdot \sin 4x}\).
    Zobraziť riešenie
    Príklad: Vypočítajme neurčitý integrál \(\myint{\arctg x}\).
    Zobraziť riešenie
    Príklad: Vypočítajme integrál \(\myint{\e^{2x+3}\cdot\cos\left(1-\frac{x}{2}\right)}\).
    Zobraziť riešenie
Doplňujúce úlohy
    Úloha: Vypočítajte neurčité integrály:
    1. \(\myint{ (5x^5+6x^2-7x+12)}\).
      Zobraziť výsledok
    2. \(\myint{\left( {\frac{1}{3}\cdot x^4+\frac{x^2}{2}+\frac{3}{5}} \right)}\).
      Zobraziť výsledok
    3. \(\myint{\left( {\frac{2}{x}-\frac{3}{x^2}+\frac{2}{3x^3}} \right)}\).
      Zobraziť výsledok
    4. \(\myint{\left( {\sqrt {x^3} +2\sqrt x -3\sqrt[4]{x^5}} \right)}\).
      Zobraziť výsledok
    5. \(\myint{\left( {\frac{1}{3}\sqrt[3]{x^2}+3x^2\cdot \sqrt x } \right)}\).
      Zobraziť výsledok
    6. \(\myint{\left( {\frac{x^2}{\sqrt x }-\frac{\sqrt x }{\sqrt[3]{x}}} \right)}\).
      Zobraziť výsledok
    7. \(\myint{\left( {5e^x-\sqrt 3 \cdot x^5+\frac{3}{1-x^2}} \right)}\).
      Zobraziť výsledok
    8. \(\myint{x\left( {x+1} \right)\left( {x-2} \right)}\).
      Zobraziť výsledok
    9. \(\myint{\left( {3\sqrt x -2x} \right)^2}\).
      Zobraziť výsledok
    10. \(\myint{\frac{\left( {x+1} \right)^2}{x^3}}\).
      Zobraziť výsledok
    11. \(\myint{\frac{\sqrt[3]{x}-2\sqrt x +x^2-2}{x^2}}\).
      Zobraziť výsledok
    12. \(\myint{\frac{x^2-5x+6}{x-2}}\).
      Zobraziť výsledok
    13. \(\myint{\frac{x^3-1}{x-1}}\).
      Zobraziť výsledok
    14. \(\myint{\mathrm{e}^x\left( 2-\frac{\mathrm{e}^{-x}}{x}\right)}\).
      Zobraziť výsledok
    15. \(\myint{\frac{5}{8x^2-32}}\).
      Zobraziť výsledok
    16. \(\myint{\frac{3}{9-3x^2}}\).
      Zobraziť výsledok
    17. \(\myint{\frac{x^2}{x^3+1}}\).
      Zobraziť výsledok
    18. \(\myint{\frac{\mathrm{e}^x}{3+\mathrm{e}^x}}\).
      Zobraziť výsledok
    19. \(\myint{\frac{1}{x\left(4+\ln x\right)}}\).
      Zobraziť výsledok
    20. \(\myint{\cotg x}\).
      Zobraziť výsledok
    21. \(\myint{\frac{1}{\arcsin x \cdot\sqrt {\strut 1-x^2} }}\).
      Zobraziť výsledok
    Úloha: Pomocou substitúcií vypočítajte neurčité integrály:
    1. \(\myint{\left(4x-2\right)^{13}}\).
      Zobraziť výsledok
    2. \(\myint{\frac{2}{\left( {x+17} \right)^5}}\).
      Zobraziť výsledok
    3. \(\myint{\sqrt {3x-2}}\).
      Zobraziť výsledok
    4. \(\myint{\sqrt[3]{\left( {2x+1} \right)^4}}\).
      Zobraziť výsledok
    5. \(\myint{\frac{1}{\sqrt {2-5x} }}\).
      Zobraziť výsledok
    6. \(\myint{x^2\cdot \,\left( {x^3+4} \right)^6}\).
      Zobraziť výsledok
    7. \(\myint{x\,\cdot \sqrt {x^2+5}}\).
      Zobraziť výsledok
    8. \(\myint{x^2\cdot \sqrt[6]{x^3+2}}\).
      Zobraziť výsledok
    9. \(\myint{\frac{x}{\sqrt {4-5x^2}}}\).
      Zobraziť výsledok
    10. \(\myint{\mathrm{e}^{4x}}\).
      Zobraziť výsledok
    11. \(\myint{\mathrm{e}^{\frac{x}{3}}}\).
      Zobraziť výsledok
    12. \(\myint{x\,\mathrm{e}^{1+x^2}}\).
      Zobraziť výsledok
    13. \(\myint{5x^2\,\mathrm{e}^{x^3-2}}\).
      Zobraziť výsledok
    14. \(\myint{\frac{\mathrm{e}^{1+\sqrt x }}{\sqrt x }}\).
      Zobraziť výsledok
    15. \(\myint{\frac{dx}{x\,\left( {3+\ln x} \right)^2}}\).
      Zobraziť výsledok
    16. \(\myint{\frac{\sqrt {2+\ln x} }{x}}\).
      Zobraziť výsledok
    17. \(\myint{\frac{\ln x-2}{x\sqrt {\ln x} }}\).
      Zobraziť výsledok
    18. \(\myint{\frac{\ln x}{x}\cdot\mathrm{e}^{\,\ln^2x-1}}\).
      Zobraziť výsledok
    19. \(\myint{\frac{\ln \left( {\arctg x} \right)}{\left( {1+x^2} \right)\,\arctg x}}\).
      Zobraziť výsledok
    Úloha: Pomocou metódy per partes vypočítajte neurčité integrály:
    1. \(\myint{\left( {3x-1} \right)\,\mathrm{e}^x}\).
      Zobraziť výsledok
    2. \(\myint{\left( {3x+1} \right)\,\mathrm{e}^{3x}}\).
      Zobraziť výsledok
    3. \(\myint{\left( {2x+3} \right)\,\mathrm{e}^{\frac{x}{4}}}\).
      Zobraziť výsledok
    4. \(\myint{\left( {x^2-4x} \right)\cdot\mathrm{e}^x}\).
      Zobraziť výsledok
    5. \(\myint{\left( {3x-4} \right)\cdot\sin x}\).
      Zobraziť výsledok
    6. \(\myint{\left( {x-3} \right)\,\cos (4x)}\).
      Zobraziť výsledok
    7. \(\myint{\left( {3-x} \right)\,\sin \frac{x}{2}}\).
      Zobraziť výsledok
    8. \(\myint{\left( {x^2+1} \right)\,\sin x}\).
      Zobraziť výsledok
    9. \(\myint{\ln x}\).
      Zobraziť výsledok
    10. \(\myint{x^2\cdot\ln x}\).
      Zobraziť výsledok
    11. \(\myint{x\cdot\arctg x}\).
      Zobraziť výsledok
    12. \(\myint{x^2\cdot\arctg x}\).
      Zobraziť výsledok
    13. \(\myint{\arcsin x}\).
      Zobraziť výsledok
    14. \(\myint{x\cdot\ln ^2x }\).
      Zobraziť výsledok
    15. \(\myint{x\cdot\ln \left( {x^2+3} \right) }\).
      Zobraziť výsledok
    16. \(\myint{\frac{\ln x}{x^2} }\).
      Zobraziť výsledok
Doplňujúce zdroje
  1. Stránka predmetu Matematika 1 .
  2. Džurina, Grinčová, Pirč: Úvod do predmetu Matematika 1 .
  3. Baculíková, Grinčová: Matematika 1. Vzorové a neriešené úlohy .
comments powered by Disqus