Integrovanie racionálnych funkcií

Ciele
  1. Naučiť študentov integrovanie parciálnych zlomkov.
  2. Naučiť študentov integrovanie racionálnych funkcií rozkladom na súčet parciálnych zlomkov.
  3. Naučiť študentov integrovanie funkcií s lineárnou iracionalitou.
  4. Naučiť študentov integrovanie funkcií s lineárne lomenou iracionalitou.
Úvod
    \(\def\a{&}\def\arctg{\mathop{\mathrm{arctg}}} \def\tg{\mathop{\mathrm{tg}}} \def\arccotg{\mathop{\mathrm{arccotg}}} \def\cotg{\mathop{\mathrm{cotg}}} \def\myint#1{\displaystyle\int #1 \,\mathrm{d}x} \def\e{\mathrm{e}}\) \(\myint {\frac{P\left( x \right)}{Q\left( x \right)}}\), teda integrál racionálnej funkcie počítame zvyčajne tak, že po predelení polynómu \(P\left( x \right)\) z čitateľa polynómom \(Q\left( x \right)\) z menovateľa (v prípade, že funkcia nie je rýdzoracionálna), dostaneme vo výsledku súčet polynómu a rýdzoracionálnej funkcie. Takto získanú rýdzoracionálnu funkciu rozložíme na elementárne zlomky a určíme ich neurčité integrály.

    Každú rýdzoracionálnu funkciu vieme rozložiť na súčet elementárnych (parciálnych) zlomkov, ktoré môžu mať v množine \(\mathbb{R}\) tieto tvary \[ \frac{A}{x-\alpha },\qquad \frac{A}{\left( {x-\alpha } \right)^n},\qquad \frac{Mx+N}{x^2+px+q},\qquad \frac{Mx+N}{(x^2+px+q)^n}, \] kde \(A\), \(M\), \(N\), \(\alpha\), \(p\), \(q\) sú reálne čísla, \(n\) je prirodzené číslo a kvadratický trojčlen \(x^2+px+q\) nemá reálne korene. Poslednému prípadu sa nebudeme venovať.

    Pri integrovaní často využívame tieto vzťahy:
    1. \(\displaystyle\int{\frac{\mathrm{d}x}{x-\alpha }}=\ln \left| {x-\alpha } \right|+C\);
    2. \(\displaystyle\int {\frac{\mathrm{d}x}{\left( {x-\alpha } \right)^k}} =-\frac{1}{\left(k-1 \right)\left( {x-\alpha } \right)^{k-1}}+C\) pre \(k\ne 1\), \(x\ne \alpha\), na základe substitúcie;
    3. \(\displaystyle\int {\frac{\mathrm{d}x}{x^2+a^2}} =\frac{1}{a}\arctg\frac{x}{a}+C\) pre \(a\ne0\);
    4. \(\myint{\frac{{f}'\left( x \right)}{f\left( x \right)}}=\ln \left| {f\left( x \right)} \right|+C\).
Postup
  1. Integrovanie parciálnych zlomkov
    Príklad: Vypočítajme integrál \(\myint {\frac{1}{x+5}}\).
    Zobraziť riešenie
    Príklad: Vypočítajme integrál \(\myint {\frac{3}{2x+5}}\).
    Zobraziť riešenie
    Príklad: Vypočítajme integrál \(\myint {\frac{1}{\left({x+5} \right)^3}}\).
    Zobraziť riešenie
    Príklad: Vypočítajme integrál \(\myint {\frac{3}{\left( {2x+5} \right)^4}}\).
    Zobraziť riešenie
    Príklad: Vypočítajme integrál \(\myint {\frac{2x-4}{x^2+x+1}}\).
    Zobraziť riešenie
  2. Integrovanie racionálnych funkcií
    Príklad: Vypočítajme integrál \(\myint {\frac{2x^2+3x-23}{x^3-4x^2+x+6}} \).
    Zobraziť riešenie
    Príklad: Vypočítajme integrál \(\myint{\frac{x^3-2x+1}{x^2+x}}\).
    Zobraziť riešenie
    Príklad: Vypočítajme integrál \(\myint {\frac{-x^2+5}{x^3-x^2-x+1}}\).
    Zobraziť riešenie
    Príklad: Vypočítajme integrál \(\myint {\frac{5x^2-7x+9}{x^3-3x^2+2x-6}}\).
    Zobraziť riešenie
    Príklad: Vypočítajme integrál \(\myint {\frac{4x^2+8x+16}{x^3+4x^2+9x+6}}\).
    Zobraziť riešenie
  3. Lineárna iracionalita

    Integrál typu \(\myint {R[x,\;\sqrt[{k_1 }]{Ax+B},\;\sqrt[{k_2 }]{Ax+B},\;\ldots ,\;\sqrt[{k_n }]{Ax+B}]}\), kde \(R\) je racionálna funkcia a \(k_1\), \(k_2\), \(\dots\), \(,k_n\) sú prirodzené čísla, riešime pomocou substitúcie \[ Ax+B=t^k, \] kde \(k\) je najmenší spoločný násobok čísel \(k_1\), \(k_2\), \(\dots\), \(k_n\). Pomocou tejto substitúcie prevedieme daný integrál na integrál racionálnej funkcie.
    Príklad: Vypočítajme integrál \(\myint {\frac{\sqrt[3]{x}}{x+\sqrt[6]{x^5}}}\).
    Zobraziť riešenie
    Príklad: Vypočítajme integrál \(\myint {\frac{\sqrt {x-2} -\sqrt[4]{x-2}}{4x-8}}.\)
    Zobraziť riešenie
  4. Lineárne lomená iracionalita

    Integrál typu \(\myint {R\left[x,\;\sqrt[{k_1 }]{\dfrac{Ax+B}{Cx+D}},\;\sqrt[{k_2 }]{\dfrac{Ax+B}{Cx+D}},\;\ldots ,\;\sqrt[{k_n }]{\dfrac{Ax+B}{Cx+D}}\right]}\), kde \(R\) je racionálna funkcia a \(k_1\), \(k_2\), \(\dots\), \(,k_n\) sú prirodzené čísla, riešime pomocou substitúcie \[ \dfrac{Ax+B}{Cx+D}=t^k, \] kde \(k\) je najmenší spoločný násobok čísel \(k_1\), \(k_2\), \(\dots\), \(k_n\). Pomocou tejto substitúcie prevedieme daný integrál na integrál racionálnej funkcie.
    Príklad: Vypočítajme neurčitý integrál \(\myint{\sqrt{\frac{x+1}{x-1}}}\).
    Zobraziť riešenie
Doplňujúce úlohy
    Úloha: Vypočítajte nasledujúce integrály racionálnych funkcií:
    1. \(\myint{\frac{1}{x(x+1)(x+2)}} \)
      Zobraziť výsledok
    2. \(\myint{\frac{ 5-x}{x^2-1 }} \)
      Zobraziť výsledok
    3. \(\myint{\frac{4x+2 }{ x^2-2x-8}} \)
      Zobraziť výsledok
    4. \(\myint{\frac{ 7x+7}{ x^2+x-12}} \)
      Zobraziť výsledok
    5. \(\myint{\frac{-x-1 }{ x^2-7x+10}} \)
      Zobraziť výsledok
    6. \(\myint{\frac{2x+13 }{x62+9x+20 }} \)
      Zobraziť výsledok
    7. \(\myint{\frac{4x^2+8x-8 }{x^3-4x }} \)
      Zobraziť výsledok
    8. \(\myint{\frac{ x-1}{(x+1)(x+2)^2 }} \)
      Zobraziť výsledok
    9. \(\myint{\frac{6x^2-22x+18 }{(x-1)(x^2-5x+6) }} \)
      Zobraziť výsledok
    10. \(\myint{\frac{2x^2+3x+3 }{(x+2)(x^2-9) }} \)
      Zobraziť výsledok
    11. \(\myint{\frac{-2x+12 }{(x-2)(x^2-4) }} \)
      Zobraziť výsledok
    12. \(\myint{\frac{-2x^2+3x-9 }{x^3-3x^2 }} \)
      Zobraziť výsledok
    13. \(\myint{\frac{ x^2+4x-2}{ x^3-x^2}} \)
      Zobraziť výsledok
    14. \(\myint{\frac{4x^2+6x+4 }{x^3+2x^2+x }} \)
      Zobraziť výsledok
    15. \(\myint{\frac{x^2-1 }{x^3+x }} \)
      Zobraziť výsledok
    16. \(\myint{\frac{5x^2-4x+2 }{(x-1)(x^2+2) }} \)
      Zobraziť výsledok
    17. \(\myint{\frac{3x^2+6 }{x^3+3x }} \)
      Zobraziť výsledok
    18. \(\myint{\frac{(x+1)^3 }{x^2-x }} \)
      Zobraziť výsledok
    19. \(\myint{\frac{2x^3-x^2-3x+6 }{x^2-1 }} \)
      Zobraziť výsledok
    20. \(\myint{\frac{x^3+3x^2-3x-17 }{x^2+x-12 }} \)
      Zobraziť výsledok
    21. \(\myint{\frac{ x^2+11x+33}{x^2+9x+20 }} \)
      Zobraziť výsledok
    22. \(\myint{\frac{x^4+8x-8 }{x^3-4x }} \)
      Zobraziť výsledok
    23. \(\myint{\frac{-x^3+12x+21 }{(x+2)(x^2-9) }} \)
      Zobraziť výsledok
    24. \(\myint{\frac{x^4-5x^3+4x^2+3x-9 }{x^3-3x^2 }} \)
      Zobraziť výsledok
    25. \(\myint{\frac{9x-14 }{ 9x^2-24x+16}} \)
      Zobraziť výsledok
    26. \(\myint{\frac{5x^3+9x^2-22x-8 }{x^3-4x }} \)
      Zobraziť výsledok
    27. \(\myint{\frac{1 }{x^2-x+1 }} \)
      Zobraziť výsledok
    28. \(\myint{\frac{ 1}{x^2+x+2 }} \)
      Zobraziť výsledok
    29. \(\myint{\frac{ 1}{x^2+x+1 }} \)
      Zobraziť výsledok
    30. \(\myint{\frac{1 }{x^2-2x+2 }} \)
      Zobraziť výsledok
    31. \(\myint{\frac{ 1}{x^2-2x+5 }} \)
      Zobraziť výsledok
    32. \(\myint{\frac{1 }{x^3+1 }} \)
      Zobraziť výsledok
    33. \(\myint{\frac{x^3+x-1 }{x(x^2+1) }} \)
      Zobraziť výsledok
    34. \(\myint{\frac{1 }{x^3+x^2+x }} \)
      Zobraziť výsledok
    35. \(\myint{\frac{x^4+1 }{x^3-x^2+x-1 }} \)
      Zobraziť výsledok
    36. \(\myint{\frac{x }{x^3+9x^2+23x+15 }} \)
      Zobraziť výsledok
    37. \(\myint{\frac{x^4+1 }{x^2(x-1)(x+1)^2 }} \)
      Zobraziť výsledok
    38. \(\myint{\frac{x^4+1 }{x^3-x^2+x-1 }} \)
      Zobraziť výsledok
    39. \(\myint{\frac{x^2+3x+2 }{x^2+x+2 }} \)
      Zobraziť výsledok
    40. \(\myint{\frac{x^2-2x+1 }{(x^2-2x+2)(x^2-2x+5) }} \)
      Zobraziť výsledok
    Úloha: Vypočítajte nasledujúce integrály funkcií obsahujúcich lineárnu iracionalitu:
    1. \(\myint{\frac{\sqrt{1-x}}{x}} \)
      Zobraziť výsledok
    2. \(\myint{\frac{ x}{ \sqrt{2x+1}}} \)
      Zobraziť výsledok
    3. \(\myint{\frac{x-1 }{\sqrt[3]{x+1} }} \)
      Zobraziť výsledok
    4. \(\myint{\frac{3x+1 }{\sqrt[3]{3x-2} }} \)
      Zobraziť výsledok
    5. \(\myint{\frac{\sqrt{x+1} }{x }} \)
      Zobraziť výsledok
    6. \(\myint{\frac{1 }{\sqrt{x}+\sqrt[4]{x} }} \)
      Zobraziť výsledok
    7. \(\myint{\frac{\sqrt[3]{x} }{x(\sqrt{x}+\sqrt[3]{x}) }} \)
      Zobraziť výsledok
    8. \(\myint{\frac{ \sqrt{2x-1}}{3-\sqrt{2x-1} }} \)
      Zobraziť výsledok
    9. \(\myint{\frac{\sqrt[3]{3x+4} }{1+\sqrt[3]{3x+4} }} \)
      Zobraziť výsledok
    10. \(\myint{\frac{4x+5\sqrt{x+2} }{\sqrt[3]{ (x+2)^2} }} \)
      Zobraziť výsledok
    11. \(\myint{\frac{ x}{x+\sqrt{x} }} \)
      Zobraziť výsledok
    12. \(\myint{\frac{1-\sqrt{x} }{\sqrt{x}(1+\sqrt{x}) }} \)
      Zobraziť výsledok
    13. \(\myint{\frac{1 }{1+\sqrt[3]{x} }} \)
      Zobraziť výsledok
    14. \(\myint{\frac{ \sqrt[3]{x}}{x+\sqrt[6]{ x^5} }} \)
      Zobraziť výsledok
    15. \(\myint{\frac{\sqrt[6]{x}-1 }{\sqrt[3]{ x^4}+\sqrt[4]{ x^5} }} \)
      Zobraziť výsledok
    16. \(\myint{\frac{\sqrt{x}+\sqrt[4]{x}+\sqrt[3]{x} }{x+\sqrt[6]{x^7} }} \)
      Zobraziť výsledok
    17. \(\myint{\frac{(x-1)\sqrt[3]{x+1} }{x-1+\sqrt[3]{x+1} }} \)
      Zobraziť výsledok
    18. \(\myint{\frac{x^2 }{(5x+2)\sqrt{ 5x+2} }} \)
      Zobraziť výsledok
Doplňujúce zdroje
  1. Stránka predmetu Matematika 1 .
  2. Molnárová, Myšková: Úvod do lineárnej algebry .
  3. Džurina, Grinčová, Pirč: Úvod do predmetu Matematika 1 .
  4. Baculíková, Grinčová: Matematika 1. Vzorové a neriešené úlohy .
comments powered by Disqus