Integrovanie niektorých funkcií obsahujúcich racionálne výrazy

Ciele
  1. Naučiť študentov integrovanie funkcií s kvadratickou iracionalitou v menovateli úpravou kvadratického výrazu na štvorec.
  2. Naučiť študentov integrovanie funkcií Ostrogradského metódou neurčitých koeficientov.
  3. Naučiť študentov integrovať funkcie obsahujúce racionálne výrazy s exponenciálnymi funkciami.
  4. Naučiť študentov integrovať funkcie obsahujúce racionálne výrazy s goniometrickými funkciami.
Úvod
    \(\def\a{&}\def\arctg{\mathop{\mathrm{arctg}}} \def\tg{\mathop{\mathrm{tg}}} \def\arccotg{\mathop{\mathrm{arccotg}}} \def\cotg{\mathop{\mathrm{cotg}}} \def\myint#1{\displaystyle\int #1 \,\mathrm{d}x} \def\e{\mathrm{e}}\)Integračné techniky predstavené na predchádzajúcich cvičeniach sú doplnené o základné metódy riešenia úloh obsahujúcich racionálne výrazy s s iracionálnymi, goniometrickými a exponenciálnymi funkciami.
Postup
  1. Kvadratická iracionalita

    Integrál typu \(\displaystyle\int {\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt {Ax^2+Bx+C} }}\), riešime úpravou výrazu pod odmocninou na štvorec a následnou substitúciou nájdeme riešenie tohto integrálu pomocou integračného vzorca \[ \int {\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt {x^2\pm a^2} }} =\ln \left| {x+\sqrt {x^2\pm a^2} } \right|+C,\qquad \mbox{resp.}\qquad \int {\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt {a^2-x^2} }} =\arcsin \frac{x}{a}+C. \]
    Príklad: Vypočítajme integrál \(\myint {\frac{1}{\sqrt{2x^2-x+3}}}\).
    Zobraziť riešenie
  2. Ostrogradského metóda neurčitých koeficientov

    Integrál typu \(\myint {\frac{P_n \left( x \right)}{\sqrt {Ax^2+Bx+C} }}\), \(A\ne 0\), kde \(P_n \left( x \right)\) je polynóm \(n\)-tého stupňa, počítame pomocou tzv. Ostrogradského metódy (metódy neurčitých koeficientov), pričom vytvoríme nasledujúcu rovnosť, kde \(Q_{n-1} \left( x \right)\) je polynóm stupňa \(n-1\) s neznámymi koeficientami, ktoré treba určiť a \(k\) je neznáma konštanta \[ \myint {\frac{P_n \left( x \right)}{\sqrt {Ax^2+Bx+C} }}=Q_{n-1} \left( x \right)\cdot \sqrt {Ax^2+Bx+C} +k\int {\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt {Ax^2+Bx+C} }} \,. \] Uvedenú rovnosť zderivujeme a následne vynásobíme výrazom \(\sqrt {Ax^2+Bx+C}\), čím sa zbavíme integrálov a odmocnín. Metódou porovnávania koeficientov vypočítame koeficienty neznámeho polynómu \(Q_{n-1} \left( x \right)\) a koeficient \(k\).
    Príklad: Vypočítajme integrál \(\myint {\frac{x^2}{\sqrt{2x^2-4x+1} }}\).
    Zobraziť riešenie
    Príklad: Vypočítajme neurčitý integrál \(\myint{\sqrt{1-x^2}}\).
    Zobraziť riešenie
  3. Integrovanie racionálnych výrazov obsahujúcich exponenciálne funkcie

    \(\myint {R\left( {\e^x} \right)} \) vypočítame pomocou substitúcie \(\e^x=t\).
    Príklad: Vypočítajme integrál \(\myint {\frac{\e^x}{\sqrt {\e^{2x}-4} }}\).
    Zobraziť riešenie
    Príklad: Vypočítajme integrál \(\myint {\frac{1}{\e^x+2}}\).
    Zobraziť riešenie
  4. Integrovanie racionálnych výrazov obsahujúcich goniometrické funkcie

    V tejto časti sa budeme venovať niektorým typom integrálov, ktoré obsahujú goniometrické funkcie. Po ich použití získame integrály racionálnych funkcií.

    A: Integrál typu \(\myint {R\left( {\sin x} \right)\cdot \cos x}\) vypočítame pomocou substitúcie \(\sin x=t\), pričom \(\cos x\,\mathrm{d}x=\mathrm{d}t\).
    Príklad: Vypočítajme integrál \(\myint {\frac{\left({1+\sin x} \right)\cos x}{\sin ^6x}}\).
    Zobraziť riešenie
    B: Integrál typu \(\myint {R\left( {\cos x} \right)\cdot \sin x}\) vypočítame pomocou substitúcie \(\cos x=t\), pričom platí: \(-\sin x\,\mathrm{d}x=\mathrm{d}t\).
    Príklad: Vypočítajme integrál \(\myint {\frac{\sin^3x}{\cos ^2x}}\).
    Zobraziť riešenie
    C: Integrál typu \(\myint {R\left( {\sin x,\;\cos x} \right)}\) v prípade, že sa nedá využiť substitúcia z integrálu typu A alebo B, vypočítame pomocou substitúcie \(\tg\frac{x}{2}=t\), pričom \[ \sin x=\frac{2t}{1+t^2},\qquad \cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2},\qquad \mathrm{d}x=\frac{2}{1+t^2}\,\mathrm{d}t. \]
    Príklad: Vypočítajme integrál \(\myint{\frac{1}{2\cos x+\sin x+5}}\).
    Zobraziť riešenie


    D: Integrál typu \(\myint {R\left( {\sin ^{2}x,\;\cos ^{2}x,\,\sin x\cdot\cos x,\,\tg x} \right)}\) vypočítame pomocou substitúcie \(\tg x=t\), pričom \[ \sin^2x=\frac{t^2}{1+t^2},\qquad \sin x\cdot\cos x=\frac{t}{1+t^2},\qquad \cos^2x=\frac{1}{1+t^2},\qquad \mathrm{d}x=\frac{1}{1+t^2}\,\mathrm{d}t. \]
    Príklad: Vypočítajme integrál \(\myint {\frac{1}{\tg x\cdot \cos 2x}}\).
    Zobraziť riešenie
Doplňujúce úlohy
    Úloha: Vypočítajte neurčité integrály s kvadratickou iracionalitou:
    1. \(\myint{\frac{1}{\sqrt {x^2+4x+5} }}\).
      Zobraziť výsledok
    2. \(\myint{\frac{1}{\sqrt {x^2-2x+4} } }\).
      Zobraziť výsledok
    3. \(\myint{\frac{1}{\sqrt {2x-x^2} } }\).
      Zobraziť výsledok
    4. \(\myint{\frac{2}{\sqrt {4x^2-8x+12} }}\).
      Zobraziť výsledok
    5. \(\myint{\frac{1}{\sqrt {x^2+10x-5} } }\).
      Zobraziť výsledok
    6. \(\myint{\frac{1}{\sqrt {2x^2-5x+3} } }\).
      Zobraziť výsledok
    7. \(\myint{\frac{x+7}{\sqrt {x^2+4x+5} } }\).
      Zobraziť výsledok
    8. \(\myint{\frac{3x-2}{\sqrt{x^2-2x+4}} }\).
      Zobraziť výsledok
    9. \(\myint{\frac{3-x}{\sqrt {x^2-2x+3} } }\).
      Zobraziť výsledok
    10. \(\myint{\frac{2x+5}{\sqrt {x^2+10x-5} } }\).
      Zobraziť výsledok
    11. \(\myint{\frac{4x^2-x}{\sqrt {x^2+4x+5} } }\).
      Zobraziť výsledok
    12. \(\myint{\frac{2x^2-3x+5}{\sqrt {x^2-2x+4} } }\).
      Zobraziť výsledok
    13. \(\myint{\frac{x^2+2x+1}{\sqrt {x^2-2x+3} } }\).
      Zobraziť výsledok
    14. \(\myint{\frac{-2x^2-20x+30}{\sqrt {x^2+10x-5} } }\).
      Zobraziť výsledok
    15. \(\myint{\frac{x^3+2}{\sqrt {x^2+1} } }\).
      Zobraziť výsledok
    16. \(\myint{\sqrt {x^2-2x-1} }\).
      Zobraziť výsledok
    Úloha: Vypočítajte neurčité integrály s exponenciálnymi funkciami:
    1. \(\myint{\frac{\mathrm{e}^x}{1-\mathrm{e}^{2x}} }\).
      Zobraziť výsledok
    2. \(\myint{\frac{2\mathrm{e}^x}{\mathrm{e}^{2x}-9} }\).
      Zobraziť výsledok
    3. \(\myint{\mathrm{e}^x\cdot\frac{5-\mathrm{e}^x}{\mathrm{e}^{2x}-1} }\).
      Zobraziť výsledok
    4. \(\myint{\frac{2\mathrm{e}^{2x}+13e^x}{\mathrm{e}^{2x}+9\mathrm{e}^x+20} }\).
      Zobraziť výsledok
    5. \(\myint{\frac{\mathrm{e}^{3x}}{\mathrm{e}^x+1} }\).
      Zobraziť výsledok
    6. \(\myint{\frac{\mathrm{e}^{4x}-\mathrm{e}^{2x}}{\mathrm{e}^{2x}-16} }\).
      Zobraziť výsledok
    7. \(\myint{\frac{4}{\mathrm{e}^x+2} }\).
      Zobraziť výsledok
    8. \(\myint{\frac{1}{\mathrm{e}^x-7} }\).
      Zobraziť výsledok
    9. \(\myint{\frac{1}{(\mathrm{e}^x-3)(\mathrm{e}^x-2)} }\).
      Zobraziť výsledok
    10. \(\myint{\frac{1}{\mathrm{e}^{2x}+2\mathrm{e}^x+1} }\).
      Zobraziť výsledok
    Úloha: Vypočítajte neurčité integrály s goniometrickými funkciami:
    1. \(\myint{\left( {3-2\sin x+3\sin ^2x} \right)\cos x }\).
      Zobraziť výsledok
    2. \(\myint{\frac{\cos x}{\sqrt {\sin ^2x-4} } }\).
      Zobraziť výsledok
    3. \(\myint{\frac{\sin x}{\sqrt {\strut\cos ^2x+3} } }\).
      Zobraziť výsledok
    4. \(\myint{\frac{\sin 2x}{\strut\sin ^2x-6} }\).
      Zobraziť výsledok
    5. \(\myint{\frac{\cos 2x}{\cos x-\sin x} }\).
      Zobraziť výsledok
    6. \(\myint{\frac{\cos 2x}{\sin ^2x} }\).
      Zobraziť výsledok
    7. \(\myint{\frac{\sin x-5}{\sin ^2x}\cdot\cos x }\).
      Zobraziť výsledok
    8. \(\myint{\cos x\cdot\sqrt {2+\sin x} }\).
      Zobraziť výsledok
    9. \(\myint{\frac{\cos x}{\sin ^2x+8\sin x+6} }\).
      Zobraziť výsledok
    10. \(\myint{\left( {2-\cos x} \right)^4\sin x }\).
      Zobraziť výsledok
    11. \(\myint{\frac{\sin x}{\cos ^2x-4\cos x+3} }\).
      Zobraziť výsledok
    12. \(\myint{\frac{\sin 2x}{1-\sin ^2x} }\).
      Zobraziť výsledok
    13. \(\myint{\frac{\cos x\sin 2x}{6-2\cos x} }\).
      Zobraziť výsledok
    14. \(\myint{\frac{9-\cos^2x}{3+\cos x}\;\sin (2x) }\).
      Zobraziť výsledok
    15. \(\myint{\frac{\sin ^3x}{1+\cos x} }\).
      Zobraziť výsledok
    16. \(\myint{\cos ^3x }\).
      Zobraziť výsledok
    17. \(\myint{\cos ^5x }\).
      Zobraziť výsledok
    18. \(\myint{\cotg x\cdot \ln(\sin x )}\).
      Zobraziť výsledok
    19. \(\myint{\tg x\cdot \ln(\cos x) }\).
      Zobraziť výsledok
    20. \(\myint{\frac{5-\sin x}{\sin ^2x-1}\cdot\cos x }\).
      Zobraziť výsledok
    21. \(\myint{\frac{2\cos x}{\sin ^2x-9} }\).
      Zobraziť výsledok
    22. \(\myint{\frac{2\sin x}{\cos ^2x-9} }\).
      Zobraziť výsledok
    23. \(\myint{\frac{\cos x}{1-\sin ^2x} }\).
      Zobraziť výsledok
    24. \(\myint{\frac{2+4\sin x}{\sin ^2x-2\sin x-8}\cdot\cos x }\).
      Zobraziť výsledok
    25. \(\myint{\frac{-\cos x-1}{\cos ^2x-7\cos x+10}\cdot\sin x }\).
      Zobraziť výsledok
    26. \(\myint{\frac{2\cos x+13}{\cos ^2x+9\cos x+20}\cdot\sin x }\).
      Zobraziť výsledok
    27. \(\myint{\frac{1}{3+5\cos x} }\).
      Zobraziť výsledok
    28. \(\myint{\frac{\cos x}{1+\cos x} }\).
      Zobraziť výsledok
    29. \(\myint{\frac{1}{\cos x+2\sin x+3} }\).
      Zobraziť výsledok
    30. \(\myint{\frac{2-\sin x}{2+\cos x} }\).
      Zobraziť výsledok
    31. \(\myint{\frac{1+\sin x+\cos x}{1-\sin x-\cos x} }\).
      Zobraziť výsledok
    32. \(\myint{\frac{1+\tg x}{1-\tg x} }\).
      Zobraziť výsledok
    33. \(\myint{\frac{1}{3\sin ^2x+5\cos ^2x} }\).
      Zobraziť výsledok
    34. \(\myint{\frac{1}{\sin ^2x+3\cos ^2x+2} }\).
      Zobraziť výsledok
    35. \(\myint{\frac{\sin ^2x}{1-\tg x} }\).
      Zobraziť výsledok
    36. \(\myint{\frac{\sin x}{\sqrt {2\sin x+1} }\cdot\cos x }\).
      Zobraziť výsledok
    37. \(\myint{\frac{\sin x-1}{\sqrt[3]{\sin x+1}}\cdot\cos x }\).
      Zobraziť výsledok
    38. \(\myint{\frac{3\sin x+1}{\sqrt[3]{3\sin x-2}}\cdot\cos x }\).
      Zobraziť výsledok
    39. \(\myint{\frac{\sqrt {\cos x+1} }{\cos x}\cdot\sin x }\).
      Zobraziť výsledok
    40. \(\myint{\frac{1}{\sqrt {\cos x} +\sqrt[4]{\cos x}}\cdot\sin x }\).
      Zobraziť výsledok
Doplňujúce zdroje
  1. Stránka predmetu Matematika 1 .
  2. Džurina, Grinčová, Pirč: Úvod do predmetu Matematika 1 .
  3. Baculíková, Grinčová: Matematika 1. Vzorové a neriešené úlohy .
comments powered by Disqus