Určitý a nevlastný integrál a ich aplikácie

Ciele
  1. Naučiť študentov počítať určitý integrál pomocou Newtonovho-Leibnizovho vzorca
  2. Naučiť študentov počítať určitý integrál pomocou substitučnej metódy
  3. Naučiť študentov počítať určitý integrál metódou per-partes
  4. Naučiť študentov počítať nevlastný integrál
  5. Naučiť študentov využívať geometrické aplikácie určitého integrálu (plošný obsah rovinného útvaru, objem rotačného telesa, dĺžka krivky)
Úvod
    \(\def\myint#1{\displaystyle\int #1 \,\mathrm{d}x} \def\arctg{\mathop{\rm arctg}}\def\tg{\mathop{\mathrm{tg}}} \def\arccotg{\mathop{\mathrm{arccotg}}} \def\cotg{\mathop{\mathrm{cotg}}}\def\e{\mathrm{e}}\def\a{&} \)Výpočet úrčitého integrálu patrí medzi najdôležitejšie inžinierske aplikácie a využíva sa na riešenie veľkého množstva praktických úloh. Na tomto cvičení sa oboznámime so základnými metódami výpočtu určitého integrálu.
Postup
  1. Výpočet určitého integrálu pomocou Newtonovho-Leibnizovho vzorca

    Určitý integrál v prípade, ak funkcia \(f\) je integrovateľná na intervale \(\langle a;b\rangle\) a má na intervale \(\langle a;b\rangle\) primitívnu funkciu \(F\), počítame pomocou Newtonovho-Leibnizovho vzorca: \[ \int_a^b f\left(x\right)\;\,\mathrm{d}x=\left[F\left(x\right)\right]_{a}^{b}=F\left(b\right)-F\left(a\right). \]
    Príklad: Vypočítajme integrál \(\displaystyle\int_1^2 \left(4x^{{3}}+2x\right)\,\mathrm{d}x\).
    Zobraziť riešenie


  2. Výpočet určitého integrálu substitučnou metódou

    Nech \(\varphi :\;\langle a,\;b\rangle \rightarrow \langle \alpha ,\;\beta \rangle \) má spojitú deriváciu. Nech \(F\) je primitívna funkcia k funkcii \(f(t)\) na \(\langle \alpha ,\;\beta \rangle \). Potom funkcia \(F\left[\varphi \left(x\right)\right]\) je primitívna k \(f\left[\varphi \left(x\right)\right]\cdot \varphi ^{'}\left(x\right)\) na \(\langle a,\;b\rangle \) a platí \[ \int_a^b f\left[\varphi \left(x\right)\right]\cdot \varphi ^{'}\left(x\right)\;\,\mathrm{d}x=\int_{\alpha}^{\beta} f\left(t\right)\;\,\mathrm{d}t. \]
    Príklad: Vypočítajme integrál \(\displaystyle\int_1^{\mathrm{e}} \frac{3+\ln x}{x}\,\mathrm{d}x\).
    Zobraziť riešenie


  3. Výpočet určitého integrálu pomocou metódy per partes

    Nech funkcie \(u\left(x\right),\;v\left(x\right)\) majú spojité derivácie na intervale \(\langle a;b\rangle\). Potom platí \[ \int _a^b u(x)\cdot v^{'}(x)\,\mathrm{d}x =\left[u(x)\cdot v(x)\right]_a^b-\int_a^b u^{'} (x)\cdot v(x)\,\mathrm{d}x. \]
    Príklad: Vypočítajme integrál \(\displaystyle\int_0^1\left(x+1\right)\;\e^{2x}\,\mathrm{d}x\).
    Zobraziť riešenie


  4. Nevlastný integrál

    Integrál funkcie na neohraničenom intervale

    Počítame integrály, v ktorých hociktorá z hraníc môže byť nevlastné číslo.
    Príklad: Vypočítajme integrál \(\displaystyle\int_0^{\infty}\frac{1}{1+x^2} \, \mathrm{d}x\).
    Zobraziť riešenie
    Príklad: Vypočítajme integrál \(\displaystyle\int^0_{-\infty} \frac{1}{1+x^2}\,\mathrm{d}x\).
    Zobraziť riešenie
    Príklad: Vypočítajme integrál \(\displaystyle\int^{\infty}_{-\infty}\frac{1}{1+x^2}\,\mathrm{d}x\).
    Zobraziť riešenie


    Integrál funkcie neohraničenej na uzavretom intervale

    Príklad: Vypočítajme určitý integrál \(\displaystyle\int_0^1{\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}\,\mathrm{d}x\).
    Zobraziť riešenie
    Poznámka: Podobne sa definujú nevlastné integrály funkcií, ktoré sú neohraničené v pravom okolí nejakého bodu. Integrál funkcie, ktorá je neohraničená v okolí viacerých bodov intervalu integrovania sa rozdelí na integrály na intervaloch obsahujúcich len jeden ľavostranný alebo pravostranný problém, pričom konvergencia každého takého integrálu sa podudzuje samostatne.
    Poznámka: V niektorých prípadoch, keď nevlastný integrál rozdelený na dve časti diverguje, uvažuje sa spoločná konvergencia, keď sa hranice integrálov volia symetricky. Tak sú definované tzv. hlavné hodnoty integrálov.


  5. Geometrické aplikácie určitého integrálu

    Množina \(D=\left\{\;\left(x,y\right)\in R^{{2}},\;a\leqq x\leqq b,\;g\left(x\right)\leqq y\leqq f\left(x\right)\;\right\}\) popisuje elementárnu oblasť vzhľadom na os \(O_x\) (elementárnu oblasť typu \([x,y]\)).
    Množina \(Q=\left\{\;\left(x,y\right)\in R^{{2}},\;c\leqq y\leqq d,\;\Phi \left(y\right)\leqq x\leqq \Psi \left(y\right)\;\right\}\) popisuje elementárnu oblasť vzhľadom na os \(O_y\) (elementárnu oblasť typu \([y,x]\)).
    Plošný obsah rovinného útvaru

    Plošný obsah elementárnej oblasti \(D\) typu \([x,y]\) vypočítame podľa vzorca \[ P=\int ^b_a \left[f(x)-g(x)\right]\,\mathrm{d}x . \] Plošný obsah elementárnej oblasti \(Q\) typu \(\left[y,x\right]\) vypočítame podľa vzorca \[ P=\int^d_c\left[\Phi(y)-\Psi(y)\right] \,\mathrm{d}y. \]
    Príklad: Vypočítajme obsah časti roviny ohraničenej krivkami \(y=-x\) a \(y=2x-x^{{2}}\).
    Zobraziť riešenie
    Príklad: Vypočítajme obsah časti roviny ohraničenej krivkami \(y=x-2\) a \(x=y^2\).
    Zobraziť riešenie


    Objem rotačného telesa

    Objem rotačného telesa, ktoré vznikne rotáciou elementárnej oblasti \(D\) okolo osi \(o_x\), vypočítame podľa vzorca \[ V=\pi \int^b_a \left[f^{2}(x)-g^2(x)\right]\,\mathrm{d}x. \]
    Príklad: Vypočítajme objem telesa, ktoré vznikne rotáciou oblasti ohraničenej krivkami \(y=x^2\), \(y=2-x^2\) okolo osi \(o_x\).
    Zobraziť riešenie
    Objem rotačného telesa, ktoré vznikne rotáciou elementárnej oblasti \(Q\) okolo osi \(o_y\), vypočítame podľa vzorca \[ V=\pi \int^d_c \left[\Phi^2(y)-\Psi^2(y)\right] \,\mathrm{d}y . \]
    Príklad: Vypočítajme objem telesa, ktoré vznikne rotáciou oblasti ohraničenej krivkami \(x=y^2\), \(y=x-2\) okolo osi \(o_y\).
    Zobraziť riešenie


    Dĺžka krivky

    Dĺžku krivky \(C\) danej funkciou \(y=f(x)\) na intervale \(\langle a;b\rangle\), pričom \(f(x)\) má spojitú deriváciu, vypočítame takto: \[ L=\int_{a}^{b}\sqrt{1+[f^{\prime}(x)]^2}\,\mathrm{d}x. \]
    Príklad: Vypočítajme dĺžku danej krivky \(C\): \(y=\ln\sin x\), \(x\in \langle \frac{\pi }{3};\frac{2\pi }{3}\rangle.\)
    Zobraziť riešenie
Doplňujúce úlohy
    Úloha: Vypočítajte určité integrály:
    1. \(\myint{_0^1 \left(x^{{2}}+x+1\right)}\)
      Zobraziť výsledok
    2. \(\myint{_1^4 \left(\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}}\right)}\)
      Zobraziť výsledok
    3. \(\myint{_{-1}^1 \frac{x^{{2}}-5x+6}{x-2}}\)
    4. \(\myint{_0^1 \frac{\mathrm{e}^x}{3+\mathrm{e}^x}}\)
      Zobraziť výsledok
    5. \(\myint{_0^{\pi /2} \left(3-2\sin x+3\sin ^2 x\right)\cdot\cos x}\)
    6. \(\myint{_2^3 \left(1-x\right)^{-3}}\)
      Zobraziť výsledok
    7. \(\myint{_0^1 2x\;\left(x^2+2\right)^3}\)
      Zobraziť výsledok
    8. \(\myint{_0^1 x\,\mathrm{e}^{1+x^2}}\)
      Zobraziť výsledok
    9. \(\myint{_1^{\mathrm{e}} \frac{\sqrt{2+\ln x}}{x} }\)
    10. \(\myint{_0^{\pi /2} \left(2-\cos x\right)^4\sin x}\)
      Zobraziť výsledok
    11. \(\myint{_1^2 \left(3x-1\right)\;\mathrm{e}^x}\)
      Zobraziť výsledok
    12. \(\myint{_2^{\mathrm{e}} x\cdot\ln x}\)
      Zobraziť výsledok
    13. \(\myint{_5^6 \frac{4x+2}{x^{{2}}-2x-8}}\)
      Zobraziť výsledok
    14. \(\myint{_0^7 \frac{x-1}{\sqrt[{{3}}]{x+1}}}\)
      Zobraziť výsledok
    15. \(\myint{_0^1 \frac{1}{\sqrt{x^{{2}}+4x+5}}}\)
      Zobraziť výsledok
    16. \(\myint{_1^2 \frac{\mathrm{e}^x}{1-\mathrm{e}^{2x}}}\)
      Zobraziť výsledok
    17. \(\myint{_0^1 \frac{4}{2+\mathrm{e}^x}}\)
      Zobraziť výsledok
    Úloha: Vypočítajte nevlastné integrály:
    1. \(\myint{_2^{\infty} \left(\frac{3}{x}+\frac{2}{x^2}\right)^2}\)
      Zobraziť výsledok
    2. \(\myint{_2^{\infty} \left(\frac{3}{x}+\frac{2}{x^2}\right)}\)
    3. \(\myint{_3^{\infty} \frac{1}{\left(x-2\right)^2}}\)
    4. \(\myint{_0^{\infty} \mathrm{e}^{-3x}}\)
      Zobraziť výsledok
    5. \(\myint{_1^{\infty} \frac{\mathrm{e}^{1/x}}{x^2}}\)
      Zobraziť výsledok
    6. \(\myint{_2^{\infty} \frac{\ln x}{x}}\)
    7. \(\myint{_2^{\infty} \frac{1}{x\,\ln x}}\)
    8. \(\myint{_2^{\infty} \frac{1}{x\,\ln^2 x}}\)
      Zobraziť výsledok
    9. \(\myint{_1^{\infty} \frac{x}{\sqrt{x^2+1}}}\)
    10. \(\myint{_1^{\infty} \frac{x}{\mathrm{e}^x}}\)
      Zobraziť výsledok
    11. \(\myint{_0^{\infty} x\cdot \mathrm{e}^{-x^2}}\)
      Zobraziť výsledok
    12. \(\myint{_{-\infty}^{-0{,}5} \frac{1}{x^2+x+1}}\)
      Zobraziť výsledok
    13. \(\myint{_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{x^2+2x+2}}\)
    14. \(\myint{_{-\infty}^{\infty} \frac{\arctg^2 x}{1+x^2}}\)
      Zobraziť výsledok
    Úloha: Vypočítajte obsah časti roviny ohraničenej krivkami:
    1. \(y=2x,\;y=x,\;x=5 \)
      Zobraziť výsledok
    2. \( y=5-2x,\;y=2+x,\;x=0\)
      Zobraziť výsledok
    3. \(y=x^2-2x,\;y=0 \)
      Zobraziť výsledok
    4. \( y=x^2-2x,\;y=x\)
      Zobraziť výsledok
    5. \(y=6x-x^2,\;y=0 \)
    6. \(y=-x^2+4x-2,\;y+x=2 \)
      Zobraziť výsledok
    7. \(y=x^2-3x+10,\;y=2x+4 \)
      Zobraziť výsledok
    8. \(y=x^2+x,\;y=2x+2 \)
      Zobraziť výsledok
    9. \(y=-x^{{2}}+2,\;y=-3x+4 \)
      Zobraziť výsledok
    10. \(y=x^2-x-6,\;y=-x^2+5x+14 \)
      Zobraziť výsledok
    11. \(y=x^2+2x+10,\;y=-x^2-4x+18 \)
      Zobraziť výsledok
    12. \(y=x^2-x,\;y=-x^2+3x \)
      Zobraziť výsledok
    13. \(y=2x^2-x-2,\;y=x^2+2x+2 \)
      Zobraziť výsledok
    14. \( y=x^2,\;y^2=x\)
      Zobraziť výsledok
    15. \(xy=4,\;x+y=5 \)
      Zobraziť výsledok
    16. \(xy=5,\;y=6-x \)
    17. \(y=\dfrac{4}{x},\;y=6-2x \)
    18. \( y=x^3,\;y=4x\)
    19. \(y=\mathrm{e}^x,\;y=0,\;x=0,\;x=1 \)
      Zobraziť výsledok
    20. \(y=\mathrm{e}^{2x},\;y=\mathrm{e}^x+2,\;x=0 \)
      Zobraziť výsledok
    21. \(y=\mathrm{e}^{2x}-3,\;y=\mathrm{e}^x-1,\;x=0 \)
      Zobraziť výsledok
    22. \(y=2\mathrm{e}^x+3,\;y=\mathrm{e}^{2x},\;x=0 \)
    23. \( y=3-x,\;y=x,\;y=0\)
      Zobraziť výsledok
    24. \( y=x+1,\;y=7-x,\;y=0\)
    25. \(x=4,\;y^2=x \)
      Zobraziť výsledok
    26. \(x=6,\;x=y^2-3 \)
    27. \(y=x-2,\;y^2=x \)
      Zobraziť výsledok
    28. \( x=y^2,\;x+y-6=0\)
      Zobraziť výsledok
    29. \(x=y^2,\;x-3y-4=0 \)
      Zobraziť výsledok
    30. \( y^2=x+1,\;x+2y-2=0\)
      Zobraziť výsledok
    31. \(x=y^2-2,\;x-y-4=0 \)
      Zobraziť výsledok
    32. \( y=x+1,\;\left(y-1\right)^2=x\)
      Zobraziť výsledok
    33. \(y=\dfrac{8}{x},\;y=2x,\;y=6 \)
      Zobraziť výsledok
    34. \(y=\dfrac{8}{x},\;y=\dfrac{x}{2},\;y=5 \)
      Zobraziť výsledok
    35. \( y=\dfrac{6}{x},\;y=\dfrac{x}{6},\;y=3\)
    36. \(y=\ln x,\;y=0,\;y=\mathrm{e},\;x=0 \)
      Zobraziť výsledok
    Úloha: Vypočítajte objem telesa, ktoré vznikne rotáciou okolo osi \(o_x\) oblasti ohraničenej krivkami:
    1. \(y=2x,\;y=x,\;x=5 \)
    2. \(y=5-2x,\;y=2+x,\;x=0\)
    3. \( y=3x+1,\;y=0,\;x=0,\;x=1\)
    4. \(y=2x-x^2,\;y=0 \)
      Zobraziť výsledok
    5. \(y=x^2+2,\;y=2x^2+1 \)
      Zobraziť výsledok
    6. \( y=x^2,\;y=1-x^2\)
      Zobraziť výsledok
    7. \(y=x^2+2,\;y=0,\;x=-1,\;x=3 \)
      Zobraziť výsledok
    8. \(y=6x-x^{{2}},\;y=0 \)
      Zobraziť výsledok
    9. \(y=x^2,\;y^2=x \)
      Zobraziť výsledok
    10. \(xy=4,\;x+y=5 \)
    11. \(xy=5,\;y=6-x \)
      Zobraziť výsledok
    12. \( y=\dfrac{4}{x},\;y=6-2x\)
      Zobraziť výsledok
    13. \( y=x^3,\;y=4x,\;x\ge 0\)
      Zobraziť výsledok
    14. \(y=\mathrm{e}^x,\;y=0,\;x=0,\;x=1 \)
      Zobraziť výsledok
    15. \(y=\mathrm{e}^{-x/10},\;y=0,\;x=0,\;x=10 \)
      Zobraziť výsledok
    16. \(y=\mathrm{e}^{x/2},\;y=e,\;x=0 \)
      Zobraziť výsledok
    17. \( y=\mathrm{e}^{2x},\;y=1,\;x=4\)
      Zobraziť výsledok
    18. \(y=\mathrm{e}^x,\;y=\dfrac{1}{x},\;x=2,\;x=3 \)
      Zobraziť výsledok
    19. \(y=\mathrm{e}^{-x},\;y=x+1,\;x=2 \)
      Zobraziť výsledok
    20. \(y=3-x,\;y=x,\;y=0 \)
      Zobraziť výsledok
    21. \(y=x+1,\;y=7-x,\;y=0 \)
      Zobraziť výsledok
    22. \(x=4,\;y^2=x \)
    23. \(x=6,\;x=y^2-3 \)
      Zobraziť výsledok
    24. \( y=\dfrac{8}{x},\;y=2x,\;y=6\)
      Zobraziť výsledok
    25. \(y=\dfrac{8}{x},\;y=\dfrac{x}{2},\;y=5 \)
    26. \( y=\dfrac{6}{x},\;y=\dfrac{x}{6},\;y=3\)
    Úloha: Vypočítajte objem telesa, ktoré vznikne rotáciou okolo osi \(o_{{y}}\) oblasti ohraničenej krivkami:
    1. \( y=3-x,\;y=x,\;y=0\)
      Zobraziť výsledok
    2. \( x=4,\;y^2=x\)
      Zobraziť výsledok
    3. \( y=x-2,\;y^{{2}}=x\)
      Zobraziť výsledok
    4. \( x=y^2,\;x+y-6=0\)
      Zobraziť výsledok
    5. \(x=y^2,\;x-3y-4=0 \)
    6. \( y=x+1,\;\left(y-1\right)^2=x\)
      Zobraziť výsledok
    7. \( y=\dfrac{8}{x},\;y=2x,\;y=6\)
      Zobraziť výsledok
    8. \(y=\dfrac{8}{x},\;y=\dfrac{x}{2},\;y=5 \)
      Zobraziť výsledok
    9. \(y=\dfrac{6}{x},\;y=\dfrac{x}{6},\;y=3 \)
    10. \(y=\ln x,\;y=0,\;y=\mathrm{e},\;x=0 \)
      Zobraziť výsledok
    Úloha: Vypočítajte dĺžku krivky:
    1. \( C:\;y=\dfrac{\mathrm{e}^x+\mathrm{e}^{-x}}{2},\;x\in \langle 0;3\rangle \)
      Zobraziť výsledok
    2. \(C:\;y=\dfrac{x^2}{4}-\dfrac{\ln x}{2},\;x\in \langle 1;4\rangle \)
      Zobraziť výsledok
    3. \(C:\;y=1-\ln(\cos x),\;x\in \left\langle 0;\dfrac{\pi }{4}\right\rangle \)
      Zobraziť výsledok
    4. \( C:\;y=2\sqrt{x^3},\;x\in \langle 0;2\rangle\)
      Zobraziť výsledok
    5. \(C:\;y=2\sqrt{x},\;x\in \langle 1;2\rangle \)
      Zobraziť výsledok
    6. \(C:\;y=\ln \dfrac{\mathrm{e}^x+1}{\mathrm{e}^x-1},\;x\in \langle \ln 2;\ln 5\rangle \)
      Zobraziť výsledok
    7. \(C:\;y=\mathrm{e}^x,\;x\in \langle 0;1\rangle \)
      Zobraziť výsledok
Doplňujúce zdroje
  1. Stránka predmetu Matematika 1 .
  2. Džurina, Grinčová, Pirč: Úvod do predmetu Matematika 1 .
  3. Baculíková, Grinčová: Matematika 1. Vzorové a neriešené úlohy .
comments powered by Disqus