Numerický výpočet určitého integrálu

Ciele
  1. Numerický výpočet určitého integrálu lichobežíkovou metódou so zadanou presnosťou. Odhad nepresnosti určenia určitého integrálu pri zadanom počte delení intervalu integrovania.
  2. Numerický výpočet určitého integrálu Simpsonovou metódou so zadanou presnosťou. Odhad nepresnosti určenia určitého integrálu pri zadanom počte delení intervalu integrovania.
Úvod
    Numerické integrovanie sa používa väčšinou v prípadoch, keď integrovaná funkcia \(f \) je zadaná len pomocou tabuľky svojich funkčných hodnôt, alebo v prípade, keď nevieme nájsť prostredníctvom elementárnych funkcií k danej integrovanej funkcii primitívnu funkciu. Pri numerickom integrovaní postupujeme tak, že interval integrovania \( \left\langle a,b\right\rangle \) rozdelíme na \( n\) častí \[ \left\langle a, x_{1}\right\rangle, \left\langle x_{1}, x_{2}\right\rangle, \ldots , \left\langle x_{n-2}, x_{n-1}\right\rangle, \left\langle x_{n-1}, b\right\rangle.\] Keď si zvolíme pre numerický výpočet určitého integrálu lichobežíkovú metódu, tak na každej časti takto rozdeleného intervalu nahradíme funkciu \( f\left(x\right)\) interpolačným polynómom \(L_{1}\left(x\right)\), kde \( 1\) je stupeň polynómu. Keď si však zvolíme pre numerický výpočet určitého integrálu Simpsonovu metódu, tak potom predpokladáme, že číslo \( n\) je párne a funkciu \( f\left(x\right)\) nahradíme interpolačným polynómom druhého stupňa \(L_{2}\left(x\right)\)na každom podintervale \[ \left\langle x_{2i},x_{2i+2}\right\rangle ,\quad i=0,1,\ldots,\frac{n}{2}-1,\quad x_{0}=a,\quad x_{n+1}=b \] intervalu \( \left\langle a,b\right\rangle \).
Postup
  1. Numerický výpočet určitého integrálu lichobežíkovou metódou.


    Interval integrovania \( \left\langle a,b\right\rangle \) rozdelíme na \(n\) intervalov rovnakej dĺžky s uzlovými bodmi \[ a=x_0\lt x_1\lt x_2\lt \ldots \lt x_{n-1}\lt x_n=b, \] kde \[ x_i=x_0+ih,\ i=0,1,\ldots,n \] a \[ h=\frac{b-a}{n} \] je konštantný krok. Označme funkčné hodnoty funkcie \(f(x)\) nasledovne: \[ f(x_i)=y_i,\ i=0,1,\ldots,n. \] Ak na intervale \[ \left\langle a+ih,a+(i+1)h\right\rangle =\left\langle x_i,x_{i+1}\right\rangle,\ i=0,1,\ldots,n-1. \] budeme funkciu \(f(x)\) aproximovať Lagrangeovým interpolačným polynómom prvého stupňa, dostaneme približnú hodnotu určitého integrálu v tvare \[ \int_{x_i}^{x_{i+1}}f(x)dx\approx \int_{x_i}^{x_{i+1}}L_1(x,x_i,x_{i+1})dx=\frac{h}{2}\left[y_i+y_{i+1}\right], \ i=0,1,\ldots,n-1. \] Toto je základný vzorec lichobežníkovej metódy. Z vlastností určitého integrálu potom vyplýva, že \[ \int_{a}^{b}f(x)dx= I_{L}(n)+R_{L}(f,n), \] kde \begin{equation} I_{L}(n)=\frac{h}{2}\left(y_0+2y_1+2y_2+\cdots+2y_{n-1}+y_n\right) \end{equation} je vzorcom na výpočet približnej hodnoty integrálu lichobežníkovou metódou pri rovnomernom delení intervalu \( \left\langle a,b\right\rangle \) na \( n\) rovnako veľkých častí.
    Poznámka: Uvadzáme postup pre podrobnejší vývod vzorca (1): \[ \int_{a}^{b}f(x)dx= \int_{a}^{a+h}f(x)dx+ \int_{a+h}^{a+2h}f(x)dx+\cdots+\int_{a+(n-1)h}^{b}f(x)dx=\] \[=\int_{x_0}^{x_1}L_1(x,x_0,x_1)dx+\int_{x_1}^{x_2}L_1(x,x_1,x_2)dx+\cdots+ \int_{x_{n-1}}^{x_n}L_1(x,x_{n-1},x_n)dx+R_{L}(f,n)=\] \[= \frac{h}{2}\left(y_0+2y_1+2y_2+\cdots+2y_{n-1}+y_n\right)+R_{L}(f,n), \]
    Pre horný odhad chyby lichobežníkovej metódy dostávame vzorec \begin{equation} \left|R_{L}(f,n)\right|\leqq \frac{(b-a)^{3}}{12n^{2}}M_{2},\ M_{2} \geqq \max_{x\in\left\langle a,b\right\rangle}\left|f''(x)\right| . \end{equation}
    Príklad: Vypočítajme lichobežníkovou metódou približnú hodnotu integrálu \(\int_{0}^{1}\cos x^{2}dx \) pre \(n=10 \) a odhadnime chybu výpočtu.
    Zobraziť riešenie
    Príklad: Vypočítajte lichobežníkovou metódou približnú hodnotu integrálu \(\int_{1}^{4}\sqrt{x}\;dx\) s presnosťou \( \epsilon=10^{-2}\).
    Zobraziť riešenie
  2. Numerický výpočet určitého integrálu Simpsonovou metódou.

    Podobne ako pri lichobežníkovej metóde interval integrovania \( \left\langle a,b\right\rangle \) rozdelíme na \(n\) intervalov rovnakej dĺžky s uzlovými bodmi \[ a=x_0\lt x_1\lt x_2\lt \ldots \lt x_{n-1}\lt x_n=b, \] avšak \(n\) musí byť párne číslo, teda \(n=2k,\ k=1,2,\ldots .\) Pre uzlové body a funkčné hodnoty v nich platí, že \[ x_i=x_0+ih, \ h=\frac{b-a}{n}, \ f(x_i)=y_i,\ i=0,1,\ldots,n. \] Na každom z intervalov \[ \left\langle x_{2i},x_{2i+2}\right\rangle ,\ i=0,1,\ldots,\frac{n}{2}-1 \] zameníme funkciu \(f(x)\) Lagrangeovým polynómom druhého stupňa vypočítaného v uzlových bodoch \[ x_{2i},\;x_{2i+1},\;x_{2i+2}. \] Po integrácii tohto polynómu dostaneme približnú hodnotu určitého integrálu \[ \int^{x_{2i+2}}_{x_{2i}}f(x)dx\approx \frac{h}{3}\left[y_{2i}+4y_{2i+1}+y_{2i+2}\right],\ i=0,1,\ldots,\frac{n}{2}-1. \] Toto je základný vzorec Simpsonovej metódy. Z vlastností určitého integrálu potom vyplýva, že \[ \int^{b}_{a}f(x)dx=I_{S}(n)+R_{S}(f,n), \] kde \begin{equation} I_{S}(n)=\frac{h}{3}\left(y_0+y_n+4\sum^{k}_{i=1}y_{2i-1}+2\sum^{k-1}_{i=1}y_{2i}\right) \end{equation} je vzorcom na výpočet približnej hodnoty integrálu Simpsonovou metódou.
    Poznámka: Uvadzáme postup pre podrobnejší vývod vzorca (3): \[ \int^{b}_{a}f(x)dx=\int^{a+2h}_{a}f(x)dx+\int^{a+4h}_{a+2h}f(x)dx+\ldots+\int^{b}_{a+(n-2)h}f(x)dx= \] \[= \int^{x_2}_{x_0}L_2(x,x_0,x_2)dx+\int^{x_4}_{x_2}L_2(x,x_2,x_4)dx+\ldots+ \int^{x_n}_{x_{n-2}}L_2(x,x_{n-2},x_n)dx+R_{S}(f,n)= \] \[= \frac{h}{3}\left(y_0+4y_1+2y_2+y_3+\cdots+4y_{n-1}+y_n\right)+R_{S}(f,n)= \] \[= \frac{h}{3}\left(y_0+y_n+4\sum^{k}_{i=1}y_{2i-1}+2\sum^{k-1}_{i=1}y_{2i}\right)+R_{S}(f,n),\ k=\frac{n}{2}, \]
    Pre horný odhad chyby Simpsonovej metódy platí: \[\left|R_{S}(f,n)\right|\leq\frac{(b-a)^{5}}{180n^{4}}M_{4}, \qquad M_{4}\geq \max_{x\in\left\langle a,b\right\rangle}\left|f^{(4)}(x)\right| . \]
    Príklad: Vypočítajte Simpsonovou metódou približnú hodnotu integrálu \(\int_{0}^{1}\cos x^{2}dx \) pre \(n=10 \) a odhadnite chybu výpočtu.
    Zobraziť riešenie
    Príklad: Vypočítajte Simpsonovou metódou približnú hodnotu integrálu \(\int_{1}^{4}\sqrt{x}\;dx\) s presnosťou \( \epsilon=10^{-3}\).
    Zobraziť riešenie
Zdroje
  1. Buša, Pirč, Schrötter: Numerické metódy, pravdepodobnosť a matematická štatistika, 2006, ISBN 80-8073-632-4. Stiahnuť obrazovkovú alebo tlačovú verziu.
  2. Daňo, Ostertagová: Vybrané kapitoly z numerických metód, pravdepodobnosti a matematickej štatistiky, Equilibria s.r.o., Košice, 2012, ISBN 978-80-8143-012-1.
Doplňujúce úlohy
    Úloha:
    Pre zadaný počet \( \ n=10 \ \) delení vypočítajte lichobežníkovou metódou približnú hodnotu integrálu \[ \int^{5}_{1} \frac{dx}{x} \] a odhadnite chybu výpočtu.

    Výsledok:
    Zobraziť výsledok
    Úloha:
    Pre zadaný počet \(\ n=10 \ \) delení vypočítajte lichobežníkovou metódou približnú hodnotu integrálu \[ \int^{10}_{1} \frac{dx}{1+x^2} \] a odhadnite chybu výpočtu.

    Výsledok:
    Zobraziť výsledok
    Úloha:
    Lichobežníkovou metódou vypočítajte približnú hodnotu integrálu \[ \int^{1}_{0}e^{x^2}dx \] tak, ste dosiahli presnosť výpočtu \(\epsilon =0{,}05\).

    Výsledok:
    Zobraziť výsledok
    Úloha:
    Lichobežníkovou metódou vypočítajte približnú hodnotu integrálu \[ \int^{1}_{0}\sin{x^2}dx \] tak, ste dosiahli presnosť výpočtu \(\epsilon =0{,}01\).

    Výsledok:
    Zobraziť výsledok
    Úloha:
    Pre zadaný počet \( \ n=10 \ \) delení vypočítajte Simpsonovou metódou približnú hodnotu integrálu \[ \int^{5}_{0} \frac{dx}{1+x} \] a odhadnite chybu výpočtu.

    Výsledok:
    Zobraziť výsledok
    Úloha:
    Pre zadaný počet \( \ n=10 \ \) delení vypočítajte Simpsonovou metódou približnú hodnotu integrálu \[ \int^{1}_{0} \frac{\sin x}{1+x}dx \] a odhadnite chybu výpočtu.

    Výsledok:
    Zobraziť výsledok
    Úloha: Simpsonovou metódou vypočítajte približnú hodnotu integrálu \[ \int^{1}_{0}e^{x^2}dx \] tak, ste dosiahli presnosť výpočtu \(\epsilon =0{,}01\).

    Výsledok:
    Zobraziť výsledok
    Úloha: Simpsonovou metódou vypočítajte približnú hodnotu integrálu \[ \int^{1}_{0}\cos {x^2}dx \] tak, ste dosiahli presnosť výpočtu \(\epsilon =0{,}0001\).

    Výsledok:
    Zobraziť výsledok
comments powered by Disqus